Pour tout $n \in \mathbb{N}$ on pose : $I_n = \int_0^1 \frac{t^n}{\sqrt{1+t^2}} \,dt$
    1. Calculer la dérivée de la fonction $u$ définie par : $$u(t) = \ln(t+\sqrt{1+t^2})$$
    2. Calculer les intégrales $I_0$ et $I_1$.
  2. DĂ©terminer la monotonie de la suite $(I_n)$.
  3. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \quad I_{n+2} + I_n = \int_0^1 t^n \sqrt{1+t^2} \,dt$
  4. En utilisant la formule d'intégration par parties, montrer que : $$(n+2)I_{n+2} + (n+1)I_n = \sqrt{2}$$
  5. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$(2n+3)I_{n+2} \le \sqrt{2} \le (2n+3)I_n$$
  6. Montrer que la suite $(n I_n)$ converge en précisant sa limite.