EXERCICE

Baccalauréat S - Liban, 3 juin 2010
On considÚre la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :
\[ u_n = \int_{0}^{1} \frac{e^{-nx}}{1 + e^{-x}} \, dx \]

    1. Montrer que \( u_0 + u_1 = 1 \).
    2. Calculer \( u_1 \). En déduire \( u_0 \).
  2. Montrer que pour tout entier naturel \( n \), \( u_n \ge 0 \).

    1. Montrer que pour tout entier naturel \( n \) non nul :

      \[ u_{n+1} + u_n = \frac{1 - e^{-n}}{n} \]
    2. En déduire que pour tout entier naturel \( n \) non nul :

      \[ u_n \le \frac{1 - e^{-n}}{n} \]
  4. DĂ©terminer la limite de la suite \((u_n)\).