Pour tout $a \in \mathbb{R}^*_+$ et $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $$I_n(a) = \int_1^a \frac{\sqrt{1+x^{2n}}}{x} \,dx$$
  1. VĂ©rifier que pour tout $t \in \mathbb{R} - \{-1; 1\}$ :
    $$\frac{t^2}{t^2-1} = 1 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1}\right)$$
  2. En utilisant une intégration par changement de variable en posant $t = \sqrt{1+x^{2n}}$, calculer $I_n(a)$ en fonction de $n$ et $a$.