Étude de la fonction de Thomae : (Pour les meilleurs Ă©lĂšves)

Dans tout ce qui suit, l'écriture $x = \frac{p}{q}$ (ou $r_n = \frac{p_n}{q_n}$) désigne la forme irréductible de $x$ avec $q \in \mathbb{N}^*$ et $p \in \mathbb{Z}$. Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{q} & \text{si } x = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q} \\ \\ 0 & \text{si } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} \]
  1. Étude de la continuitĂ© des Ă©lĂ©ments de $\mathbb{Q}$ :
    Soit $a \in \mathbb{Q}$. En utilisant la densité de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, montrer que $f$ est discontinue en $a$.
  2. Soit $x_0 \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$.
    On considÚre un intervalle ouvert borné $I$ contenant $x_0$. Montrer que pour tout $M \in \mathbb{N}^*$, l'ensemble : \[ A_M = \left\{ \frac{p}{q} \in I \cap \mathbb{Q} \mid q \leq M \right\} \] est un ensemble fini.
  3. Étude de la continuitĂ© des Ă©lĂ©ments de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ :
    On donne une définition équivalente de la continuité en un point $x_0$ :

    DĂ©finition :
    $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si :
    $\forall \epsilon > 0$, il existe un intervalle ouvert borné centré en $x_0$ noté $I_{x_0}$ tel que : \[ x \in I_{x_0} \implies f(x) \in ]f(x_0) - \epsilon, f(x_0) + \epsilon[ \]

  4. En remarquant que $f(x_0) = 0$ et en utilisant les résultats précédents, prouver que $f$ est continue en $x_0$.
SynthĂšse :
La fonction de Thomae fournit un exemple de fonction continue pour tout irrationnel et discontinue sur un sous-ensemble dénombrable et dense dans $\mathbb{R}$.