Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : \[ u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} \]
  1. Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(t) = \frac{1}{\sqrt{t}}$.
    1. Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, on a : \[ \int_{k}^{k+1} \frac{1}{\sqrt{t}} dt \leq \frac{1}{\sqrt{k}} \]
    2. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ \int_{1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{t}} dt \leq u_n \]
    1. Calculer l'intégrale $\int_{1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{t}} dt$ en fonction de $n$.
    2. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $u_n \geq 2\sqrt{n+1} - 2$.
  3. Déterminer alors la limite de la suite $(u_n)_{n \geq 1}$.