Soit $~n\geq 2~$ un entier naturel.
On considère la fonction numérique $f$ définie sur $~\mathbb{R}~$ par : \[ f(x) = x^{n+1} - 2x^n + 1 \]
  1. Montrer que $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[0 ; \frac{2n}{n+1}\right]$.
  2. En déduire que $f\left(\frac{2n}{n+1}\right) < 0$.
  3. Montrer qu'il existe au moins un réel $\alpha \in \left]\frac{2n}{n+1} ; 2\right[$ tel que $f(\alpha) = 0$.
  4. Vérifier que : $\alpha^n = \frac{1}{2 - \alpha}$.