Bac S Liban 2004
- Soit $ x $ un nombre réel positif ou nul et $ k $ un entier strictement supérieur à $ x $.
- Montrer par récurrence sur $ n $ que, pour tout entier $ n $ supérieur ou égal à $ k $ : \[ \frac{k^{n}}{n!} \le \frac{k^{k}}{k!} \]
- En déduire que, pour tout entier $ n $ supérieur ou égal à $ k $ : \[ \frac{x^{n}}{n!} \le \left(\frac{x}{k}\right)^{n} \times \frac{k^{k}}{k!} \]
- Montrer que : \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 0 \]
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- Montrer que, pour tout entier $ n $ supérieur ou égal à 2 : \[ \frac{n^{n-1}}{n!} \ge 1 \] (on pourra écrire $ \frac{n^{n-1}}{n!} $ comme un produit de $ n-1 $ facteurs supérieurs ou égaux à 1).
- En déduire que : \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{n^{n}}{n!} = +\infty \]