Exercice : Étude de l'équation exponentielle $a^b = b^a$
On considère la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par : \begin{align*} f : &]0, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{\ln(x)}{x}\\ \end{align*}
- Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ (incluant les limites aux bornes de l'ensemble de définition).
- Déterminer, suivant les valeurs du réel $c$, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = c$.
- En déduire l'ensemble des valeurs de $c$ pour lesquelles l'équation $f(x) = c$ admet exactement deux racines réelles distinctes.
II. Analyse des solutions de $a^b = b^a$
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs tels que $a > b$.- Montrer que l'équation $a^b = b^a$ est équivalente à l'équation $f(a) = f(b)$.
- À l'aide des résultats de la partie I, établir une condition nécessaire sur $a$ et $b$ (sous forme d'intervalles) pour que l'égalité $a^b = b^a$ soit vérifiée.
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Applications :
- Justifier qu'il n'existe aucun couple d'entiers naturels $(a, b)$ avec $a > b \ge 3$ vérifiant cette équation.
- Trouver l'unique couple d'entiers naturels $(a, b)$ avec $a > b$ vérifiant $a^b = b^a$.
- (**) Pouvez-vous montrer la question précédente en utilisant les outils et arguments propres de l'arithmétiques.
- Comparer les nombres $2025^{2026} \quad\text{ et }\quad 2026^{2025}$