Inspiré du JEE Main

Énoncé

Soit $ f $ une fonction définie sur $ \mathbb{R} $ telle que la limite $ \lim_{x \to 5} f(x) $ existe.

On donne la relation suivante : \[ \lim_{x \to 5} \frac{(f(x))^2 - 9}{\sqrt{|x - 5|}} = 0 \]

1. Montrer l'existence d'une fonction $ \varphi $ continue en $ 0 $ telle que pour tout $ x \neq 5 $ : \[ (f(x))^2 - 9 = \varphi(x - 5)|x - 5|^{\frac{1}{2}} \] avec $ \lim_{t \to 0} \varphi(t) = 0 $. En déduire que $ \lim_{x \to 5} (f(x))^2 = 9 $.
2. Détermination des limites possibles :
   1. On suppose que $ \lim_{x \to 5} f(x) \neq -3 $. Montrer alors que $ \lim_{x \to 5} f(x) = 3 $.
   2. De même, on suppose que $ \lim_{x \to 5} f(x) \neq 3 $. Montrer alors que $ \lim_{x \to 5} f(x) = -3 $.
   3. En déduire les limites possibles de $ f(x) $ en $ 5 $.