On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $I_n = \int_0^1 x^n \sqrt{1-x} \,dx$
  1. Calculer $I_0$.
    1. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $$(\forall n \in \mathbb{N}), \quad (2n+5)I_{n+1} = (2n+2)I_n$$
    2. En déduire les valeurs de $I_1$ et $I_2$.
    3. Montrer par récurrence sur n que: \[I_n = \frac{2^{2n+2} n! (n+1)!}{(2n+3)!}\]
    4. Par une majoration adéquate montrer que: \[\int_0^1{x^n\sqrt{1-x}\,dx}\leq \dfrac{1}{n+1}\] En déduire alors $\lim {I_n}$