On se propose de démontrer que la fonction $~\log(x)~$ ne peut pas s'écrire comme fraction rationnelle.

Supposons par l'absurde qu'il existe Deux fonctions polynomiales $P(x)$ et $Q(x)$ tels que: $$(\forall x>0):\qquad \log(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$ Soient $~a_p \text{ et } b_q~$ les coefficients des monomes de plus haut degré respectivement de $P$ et de $Q$.

1. Discuter suivant les valeurs l'entier relatif $~n~$ la limite suivante: $$\lim\limits_{x\to +\infty}{x^n~\log(x)}$$
2. Montrer que: $~~p\gt q~$ et que $~~a_pb_q>0$


3. Démontrer que: $$\lim\limits_{x\to +\infty}{\left(\dfrac{b_q}{a_q}\right)~x^{p-q}}~\log x=1$$


4. En déduire que notre supposition fausse.