On considère la fonction numérique $f$ définie par : $$f(x) = \frac{1}{x} \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} \text{ si } x \ne 0 \text{ et } f(0)=1$$
  1. Déterminer $D_f$, le domaine de définition de $f$.
  2. Montrer que la fonction $f$ est paire.
    1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^*_+$ :
      $$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \le \int_0^x \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} \le x$$
    2. Montrer que $f$ est continue et dérivable à droite en zéro.
    1. Vérifier que : $(\forall t \in [1, +\infty[) \quad \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \le \frac{1}{\sqrt{t}}$
    2. En déduire $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
  5. Étudier les variations de $f$ puis tracer sa courbe $\mathscr{C}_f$.