Le but de cet exercice est de montrer l'irrationalité du nombre $\pi$ (c'est-à-dire : $\pi \notin \mathbb{Q}$)
  1. Soit $(u_n)$ une suite numérique à valeurs dans $\mathbb{Z}$. Montrer que la suite $(u_n)$ converge si et seulement si elle est stationnaire (c'est-à-dire : il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $n \ge N$, $u_n = u_N$)
  2. Pour $(a;b;n) in (\mathbb{N}^*)^3$, on pose : $$P_n(x) = \frac{1}{n!} x^n (bx-a)^n \quad \text{et} \quad I_n = \int_0^\pi P_n(x) \sin x \,dx$$
    1. Montrer que, pour tout $(a;b;n) \in (\mathbb{N}^*)^3$, $P_n$ et ses dérivées successives prennent en 0 et $\frac{a}{b}$ des valeurs entières (valeurs dans $\mathbb{Z}$).
    2. Montrer que, pour $(a,b) \in (\mathbb{N}^*)^2$ : $\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$
  3. On suppose que : $\left(\exists (a,b) \in (\mathbb{N}^*)^2\right) \quad \pi = \frac{a}{b}$.
    1. Avec les notations de 2) a), montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $I_n \in \mathbb{Z}$
    2. En utilisant le résultat de la question 1), déduire une contradiction.