On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par : \[ \begin{cases} u_0 = a \\ u_{n+1} = \sqrt{u_n v_n} \end{cases} \qquad \text{et} \qquad \begin{cases} v_0 = 2a \\ v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2} \end{cases}\] où $a$ est un réel strictement positif.
  1. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N} : 0 < u_n < v_n$.
  2. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante et que la suite $(v_n)$ est décroissante.
  3. Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.