On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par :
\[ \begin{cases} f(x) = x \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) & \text{si } x \in ]0;1] \\\\ f(0) = 0 \end{cases} \]
- Soit $n$ un entier naturel non nul.
- Montrer qu'il existe un élément $c_n \in \left] \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n} \right[$ tel que : $$f'(c_n) = 0$$
- En déduire que l'équation $~\tan x = x~$ admet une infinité de solutions dans $\mathbb{R}$.