1. Montrer que pour tout $t \in \mathbb{R}$ :
    $$\frac{(1+t)^2}{(1+t^2)(3+t^2)} = \frac{t}{1+t^2} - \frac{t}{3+t^2} + \frac{1}{3+t^2}$$
  2. Montrer que pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ :
    $$\int_0^\alpha \frac{1}{3+t^2} \,dt = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{Arctan}\left(\frac{\alpha}{\sqrt{3}}\right)$$
  3. On considÚre la fonction $F$ définie sur $[0; \pi]$ par : $F(x) = \int_0^x \frac{1+\sin u}{2+\cos u} \,du$
    1. Montrer que $F$ est dérivable sur $[0; \pi]$.
    2. En utilisant une intégration par changement de variable et en posant $t = \tan \frac{u}{2}$, montrer que :
      $$(\forall x \in [0; \pi]) \quad F(x) = 2 \int_0^{\tan \frac{x}{2}} \frac{(1+t)^2}{(1+t^2)(3+t^2)} \,dt$$
    3. En utilisant les questions (1) et (2), montrer que pour tout $x \in [0; \pi]$ :
      $$F(x) = \ln 3 + \frac{2}{\sqrt{3}} \text{Arctan}\left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{3}}\right) + \ln\left(\frac{1+\tan^2 \frac{x}{2}}{3+\tan^2 \frac{x}{2}}\right)$$
    4. En utilisant la continuité de $F$, montrer que :
      $$\int_0^\pi \frac{1+\sin u}{2+\cos u} \,du = \ln 3 + \frac{\pi}{\sqrt{3}}$$