Soit $g$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que : \[ \lim\limits_{x \to 0} \frac{g(2x) - g(x)}{x} = \ell \]

Questions

1. Montrer qu'il existe une fonction $\varphi$ telle que: $$g(2x) - g(x) = \ell x + x\varphi(x)$$ avec: $~~\lim\limits_{x \to 0} \varphi(x) = 0$.
2. Établir que $g(x) - g(x/2^n) = \ell x \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} + \sum_{k=1}^{n} \frac{x}{2^k}\varphi\left(\frac{x}{2^k}\right)$.
3. Soit $\epsilon>0$, Montrer qu'il exsite $~\delta>0~$ tel que si $~|x|<\delta ~$ alors: \[\left|\sum_{k=1}^{n} \frac{x}{2^k}\varphi\left(\frac{x}{2^k}\right)\right|\leq |x|\epsilon\]
4. Montrer alors que: $$\left|g(x) - g(x/2^n) - \ell x \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}\right|\leq |x\epsilon|$$
5. En déduire que $g'(0) = \ell$.