Énoncé de l'exercice

On considère l'intégrale $I = \int_0^1 \frac{e^{-x}}{1+x} \,dx$.

1. Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n = \int_0^1 x^n e^{-x} \,dx$.

   1. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout entier $n \ge 1$, on a : \[ I_n = a + n I_{n-1} \] où $a = -e^{-1}$.
   2. En déduire l'expression de $I_n$ en fonction de $n$, $a$ et $I_0$.


2. 1. Vérifier algébriquement que pour tout $x \in [0, 1]$ :
      \[ \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \frac{x^4}{1+x} \]
   2. En déduire que pour tout $x \in ]0, 1]$ :
      \[ 1 - x + x^2 - x^3 + \frac{x^4}{2} \le \frac{1}{1+x} \le 1 - x + x^2 - x^3 + \frac{x^3}{2} \]


3. 1. En utilisant les résultats précédents, montrer l'encadrement suivant :
      \[ I_0 - I_1 + I_2 - I_3 + \frac{1}{2}I_4 \le I \le I_0 - I_1 + I_2 - I_3 + \frac{1}{2}I_3 \]
   2. En déduire un encadrement explicite de l'intégrale $I$ en fonction de la constante $a$.