Inégalité de Bernoulli et convexité
Soit $\alpha \geq 1$. On considère la fonction $f$ :
\begin{align*} f : &]-1, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto (1+x)^\alpha\\ \end{align*}
  1. Montrer que $f$ est convexe sur son domaine de définition.
  2. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $x=0$.
  3. En déduire l'inégalité de Bernoulli : \[ (1+x)^\alpha \geq 1 + \alpha x, \quad \forall x \in ]-1, +\infty[ \]
  4. Discuter le sens de l'inégalité pour $\alpha \in ]0, 1[$.