Exercice 42
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on considère la fonction polynôme $P_n$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par : \[ P_n(x) = x^n + x^{n-1} + \dots + x^2 + x - 1 \]
- Montrer que l'équation $~P_n(x) = 0~$ admet une unique solution $~\alpha_n \in ]0, +\infty[$.
- Montrer que pour tout $~n \geq 2~$, on a $~\alpha_n \in ]0, 1[$.
- Étudier la monotonie de la suite $~(\alpha_n)_{n \geq 1}~$ et en déduire qu'elle est convergente.
- Montrer que pour tout $~x \neq 1$ : \[ P_n(x) = \frac{x(1-x^n)}{1-x} - 1 \]
- En déduire la limite de la suite $~(\alpha_n)_{n \geq 1}$.