Partie A : Par les produits de sinus et sommes de Riemann

Pour tout entier $ n \ge 2 $, on note $z_k = e^{i\frac{2k\pi}{n}}$ les racines $ n $-ièmes de l'unité.

1. Démontrer que $ \prod_{k=1}^{n-1} (1-z_k) = n $.
2. En déduire que : \[ P_n = \prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}} \]
3. Écrire la somme de Riemann d'ordre $ n $ associée à l'intégrale $ K = \int_0^\pi \ln(\sin x) \, dx $ et exprimer cette somme en fonction de $ \ln(P_n) $.
4. En déduire la valeur de l'intégrale $ K $, puis par un argument de symétrie, retrouver la valeur de l'intégrale $ I = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) \, dx $.

Partie B : Par les méthodes d'intégration

On considère les intégrales: \[ I = \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x) \, dx \qquad \text{et}\qquad J = \int_0^{\pi/2} \ln(\cos x) \, dx \]

1. À l'aide d'un changement de variable affine, montrer que $ I = J $.
2. Exprimer $ I + J $ sous forme d'une seule intégrale en utilisant la formule de duplication du sinus.
3. À l'aide d'un changement de variable et de la relation de Chasles, calculer $ \int_0^{\pi/2} \ln(\sin(2x)) \, dx $ en fonction de $ I $, puis en déduire les valeurs exactes de $ I $ et $ J $.