On considère la fonction $f$ définie sur $]1; +\infty[$ par : \[ \begin{align*} f : &]1; +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \ln(\ln x)\\ \end{align*} \]
- Étudier les variations de la fonction $f$.
- Soit $~k\geq 2~$ dans $~\Bbb N~$. Montrer que : \[ 0 \le f(k+1) - f(k) \le \frac{1}{k \ln k} \]
- On pose pour tout entier $n \ge 2$ : \[ S_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \ln k} \] Déterminer la limite de la suite $(S_n)_{n \ge 2}$.