PROBLÈME

Baccalauréat C - Amérique du Nord, juin 1994

Dans tout le problème, \( n \) désigne un entier naturel non nul.

---

I. Étude d'une fonction auxiliaire \( g_n \)

Soit \( g_n \) la fonction définie sur \( ]0; +\infty[ \) par :
\[ g_n(x) = x - n + \frac{n}{2}\ln x \]

1. Étudier les variations de \( g_n \). Déterminer les limites de \( g_n \) en \( 0 \) et en \( +\infty \).
2. 1. En déduire l'existence d'un réel positif \( \alpha_n \) unique tel que \( g_n(\alpha_n) = 0 \).
   2. Montrer que : \( 1 \le \alpha_n < e^2 \).
   3. Montrer que : \( \ln(\alpha_n) = 2 - \frac{2}{n}\alpha_n \).
   4. Exprimer \( g_{n+1}(\alpha_n) \) en fonction de \( \alpha_n \) et de \( n \). En déduire que \( \alpha_{n+1} > \alpha_n \).
3. 1. Montrer que la suite de terme général \( \alpha_n \) est convergente. On note \( \ell \) sa limite.
   2. En utilisant la question 2.c., calculer \( \lim\limits_{n \to +\infty} \ln(\alpha_n) \) et en déduire \( \ell \).

II. Étude d'une fonction \( f \)

Soit \( f \) la fonction définie sur \( ]0; +\infty[ \) par :
\[ f(x) = \frac{2x - \ln x}{2\sqrt{x}} \] Le plan est rapporté à un repère orthonormal \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \) (unité graphique : 2 cm). On appelle \( \mathcal{C} \) la représentation graphique de \( f \) et \( \mathcal{C}_0 \) celle de la fonction \( x \longmapsto \sqrt{x} \).

1. Déterminer les limites de \( f \) en \( 0 \) et en \( +\infty \).
2. Calculer \( f'(x) \). Vérifier que \( f'(x) = \frac{g_1(x)}{2x\sqrt{x}} \).
3. Dresser le tableau de variations de \( f \).
4. Déterminer \( \lim\limits_{x \to +\infty} [f(x) - \sqrt{x}] \). Que peut-on en déduire pour \( \mathcal{C} \) ?
5. Préciser les positions relatives de \( \mathcal{C} \) et \( \mathcal{C}_0 \).
6. Dessiner \( \mathcal{C} \) et \( \mathcal{C}_0 \).

III. Étude d'une suite \( (U_n) \)

Soit la suite \( (U_n) \) définie par :
\[ U_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{n} f\left(1 + \frac{k}{n}\right) \]

1. Soit \(~~ J = \int\limits_{1}^{2} f(x) \, dx \).
   1. Calculer \(~~ \int\limits_{1}^{2} \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} \, dx~~ \) à l'aide d'une intégration par parties.
   2. En déduire la valeur de \( J \).
2. Soit \( k \) un entier naturel tel que \( 0 \le k \le n-1 \). En utilisant les variations de \( f \) sur \( [1; +\infty[ \), montrer que :
   \[ \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k}{n}\right) \le \int_{1 + \frac{k}{n}}^{1 + \frac{k+1}{n}} f(x) \, dx \le \frac{1}{n}f\left(1 + \frac{k+1}{n}\right) \]
3. En déduire que : \( U_n - \frac{f(2)}{n} \le J \le U_n - \frac{f(1)}{n} \), puis la limite de \( U_n \) quand \( n \to +\infty \).