Polynésie 1999 - Bac S

On note $ (C) $ la courbe représentative de $ f $ dans un repère orthonormal $ (O, \vec{i}, \vec{j}) $. On prendra 5 cm comme unité.

Partie A

1. 1. Déterminer la limite de $ f $ en $ -\infty $.
   2. Vérifier que pour tout réel $ x $ non nul : $ f(x) = x [1 - 2e^{-2} \times (\frac{e^{2x}}{2x})] $. Déterminer la limite de $ f $ en $ +\infty $.
2. Déterminer $ f' $. Étudier le signe de $ f'(x) $ et calculer la valeur exacte du maximum de $ f $.
3. Démontrer que la droite $ (D) $ d'équation $ y = x $ est asymptote à la courbe $ (C) $. Étudier la position relative de $ (C) $ et de $ (D) $.
4. On note $ A $ le point de la courbe $ (C) $ d'abscisse 1. Déterminer une équation de la tangente $ (T) $ en $ A $ à la courbe $ (C) $.
5. 1. On note $ I $ l'intervalle $ [0 ; 0,5] $. Démontrer que l'équation $ f(x) = 0 $ admet dans l'intervalle $ I $ une unique solution qu'on notera $ \alpha $.
   2. Déterminer une valeur approchée à $ 10^{-1} $ près de $ \alpha $.
6. Construire la courbe $ (C) $, l'asymptote $ (D) $ et la tangente $ (T) $.

Partie B : Détermination d'une valeur approchée de $\alpha$

On définit dans $ \mathbb{R} $ la suite $ (u_n) $ par : $ u_0 = 0 $ et $ u_{n+1} = e^{2u_n-2} $.

1. Soit $ g $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par $ g(x) = e^{2x-2} $. Démontrer que l'équation $ f(x) = 0 $ est équivalente à $ g(x) = x $. En déduire $ g(\alpha) $.
2. Démontrer que, pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ I $, on a : $ |g'(x)| \le \frac{2}{e} $.
3. Démontrer que pour tout réel $ x $ de l'intervalle $ I $, $ g(x) $ appartient à $ I $.
4. Utiliser l'inégalité des accroissements finis pour démontrer que, pour tout entier naturel $ n $ : $ |u_{n+1} - \alpha| \le \frac{2}{e} |u_n - \alpha| $.
5. Démontrer par récurrence que : $ |u_n - \alpha| \le (\frac{2}{e})^n $.
6. En déduire que la suite $ (u_n) $ converge et donner sa limite.
7. Déterminer un entier naturel $ p $ tel que $ |u_p - \alpha| < 10^{-5} $.
8. En déduire une valeur approchée de $ \alpha $ à $ 10^{-5} $ près.