Liban Bac S 2004
Soit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par : \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x + \ln 4 + \frac{2}{e^{x}+1} \end{align*} et $ (C) $ sa représentation graphique dans un repÚre du plan.
  1. DĂ©terminer la limite de $ f $ en $ +\infty $ et sa limite en $ -\infty $.

  2. Calculer, pour tout réel $ x $, $ f(x) + f(-x) $. Que peut-on en déduire pour le point $ A(0 ; 1 + \ln 4) $ ?

  3. Étudier le sens de variations de la fonction $ f $ et dresser son tableau de variations.

    1. Justifier que, pour tout réel $ m $, l'équation $ f(x) = m $ admet une solution unique dans $ \mathbb{R} $.
    2. Déterminer un encadrement d'amplitude $ 10^{-1} $ de la solution $ \alpha $ de l'équation $ f(x) = 3 $. Justifier la réponse.
    3. Pour quelle valeur de $ m $ le nombre $ 0 $ est-il solution de l'Ă©quation $ f(x) = m $ ?
    1. Montrer que pour tout réel $ x $ : \[ f(x) = x + 2 + \ln 4 - \frac{2e^{x}}{e^{x}+1} \]
    2. Montrer que la droite $ (\Delta) $ d'Ă©quation $ y = x + \ln 4 $ et la droite $ (\Delta') $ d'Ă©quation $ y = x + 2 + \ln 4 $ sont des asymptotes de la courbe $ (C) $.
    3. Étudier la position de la courbe $ (C) $ par rapport à son asymptote $ (\Delta) $.

    1. On considÚre un réel positif $ a $. Que représente l'intégrale : \[ I(a) = \int_{0}^{a} [f(x) - x - \ln 4] \, dx \]
    2. Montrer que $ I(a) = 2 \ln\left(\frac{2e^{a}}{e^{a}+1}\right) $. (On pourra utiliser le résultat de la question 5.a).
    3. Calculer $ a $ pour que $ I(a) = 1 $, puis donner une valeur approchée de $ a $ à $ 10^{-1} $ prÚs.