On considère la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : $$ I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx $$
  1. Calculer $I_0$.

    1. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante.
    2. Montrer que la suite $(I_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
  3. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$ I_n + I_{n+1} = \frac{1}{n+1} $$
    1. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $\frac{1}{2(n+1)} \leq I_n \leq \frac{1}{2n}$.
    2. Retrouver alors la limite de la suite $(I_n)$.