Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ on pose : $u_n = \int_0^2 \frac{2t+3}{t+2} e^{\frac{t}{n}} \,dt$
  1. Étudier les variations de la fonction $\varphi$ dĂ©finie sur $[0; 2]$ par : $\varphi(t) = \frac{2t+3}{t+2}$
    En déduire que : $(\forall t \in [0; 2]) \quad \frac{3}{2} \le \varphi(t) \le \frac{7}{4}$
    1. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :
      $$\frac{3}{2} n \left(e^{\frac{2}{n}}-1\right) \le u_n \le \frac{7}{4} n \left(e^{\frac{2}{n}}-1\right)$$
    2. Montrer que si la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ converge alors sa limite $\ell$ vérifie : $3 \le \ell \le \frac{7}{2}$
    1. VĂ©rifier que : $(\forall t \in [0; 2]) \quad \frac{2t+3}{t+2} = 2 - \frac{1}{t+2}$
      et en déduire la valeur de : $I = \int_0^2 \frac{2t+3}{t+2} \,dt$
    2. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad I \le u_n \le e^{\frac{2}{n}} I$
    3. En déduire que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge en précisant sa limite.