On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \quad u_n = n \int_1^\pi \frac{\sin x}{x^n} \,dx$
  1. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $(\forall n \ge 2) \quad u_n = \frac{n}{n-1} \left( \sin 1 + \int_1^\pi \frac{\cos x}{x^{n-1}} \,dx \right)$
    1. Montrer que : $(\forall n \ge 2) \quad \left| \int_1^\pi \frac{\cos x}{x^{n-1}} \,dx \right| \le \int_1^\pi \frac{dx}{x^{n-1}}$
    2. En déduire que : $\lim_{n \to +\infty} \left( \int_1^\pi \frac{\cos x}{x^{n-1}} \,dx \right) = 0$
    3. Montrer que : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \sin 1$