On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n = \int_0^1 \frac{e^{-t^2}}{1+t+n} \,dt$
  1. DĂ©terminer la monotonie de la suite $(u_n)$ puis montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \quad u_n \ge 0$
  2. Montrer que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.
  3. On considÚre les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[0; 1]$ par : $$f(x) = e^{-x} + x - 1 \quad \text{et} \quad g(x) = 1 - x + \frac{x^2}{2} - e^{-x}$$
    1. Étudier les variations de la fonction $f$.
    2. En déduire le sens de variation de $g$ sur $[0; 1]$.
    3. Montrer que : $$(\forall x \in [0; 1]) \quad 1 - x \le e^{-x} \le 1 - x + \frac{x^2}{2}$$
    4. En déduire un encadrement de $e^{-t^2}$ pour $t \in [0; 1]$.
  4. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$\frac{2}{3(n+2)} \le u_n \le \frac{23}{30(n+1)}$$
  5. DĂ©terminer un rang $n_0 \in \mathbb{N}$ Ă  partir duquel on a : $$(\forall n \ge n_0) \quad u_n \le 10^{-2}$$