MathématiquesDu Bac aux Prépas

Exercices & ressources · Bac Marocain & Classes Préparatoires
Filtrer par chapitre
Prépas
Algèbre Linéaire Déterminants Espaces vectoriels normés Groupes et algèbres Intégrales Généralisés Réduction des endomorphimes Suites et séries numériques Séries de fonctions

Exercice SSN 1

Soit $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ tel que $b^2 - 4ac Prouver que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$....

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 2

Justifier que $\forall x \in \mathbb{R}^+$ : $$x - \frac{x^2}{2} \leq \ln(1+x) \leq x$$ En déduire : $$\lim_{n \to +\infty} \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{k}{n^2}\right)$$...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 3

Calculer la limite des suites de terme général : $a_n = n\left(\sqrt[n]{3} - 1\right)$ $b_n = \left(\dfrac{3^n + 7^n}{2}\right)^{\!\frac{1}{n}}$ $c_n = \dfrac{\lfloor n\sqrt{2} \rfloor}{n...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 4

DĂ©terminer un Ă©quivalent simple, quand $n$ tend vers $+\infty$, de : $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}$ $b_n = \sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n}$ $c_n = \sqrt[n]{n} - 1$ $d_n = n^2\left(\cos\d...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 5

On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $$u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \qquad \text{et} \qquad v_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + \frac{1}{n \cdot n!}$$ Montrer que ces deux suites son...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 6

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite croissante telle que : $$\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad u_{2n} - u_n \leq \frac{1}{n}$$ Prouver que la suite $(u_{2^n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge. En ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 7

[Constante d'Euler] Justifier que $\forall x > 0$ : $$\frac{1}{1+x} \leq \ln(1+x) - \ln(x) \leq \frac{1}{x}$$ On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $$u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 8

Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites réelles définies par $(u_0, v_0) \in ]0, +\infty[^2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2}, \qqua...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 9

Soient $a > 0$ et $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{a^k + 1}$, $n \in \mathbb{N}$. Prouver que la suite $(S_n)$ converge. Considérer les deux suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$. ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 10

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite convergente, à valeurs dans $\mathbb{Z}$. Montrer qu'il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq N$, $|u_{n+1} - u_n| \leq \dfrac{1}{2}$, et en dédui...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 11

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle telle que les suites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{7n})$ convergent respectivement vers $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$. En considérant la suite $...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 12

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle ou complexe telle que les suites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{n^2})$ convergent. Prouver que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge....

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 13

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle non majorée. Montrer qu'il existe une suite extraite de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tendant vers $+\infty$....

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 14

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère l'équation $(E_n)$ d'inconnue $x \in ]0, +\infty[$ : $$(E_n) : \quad \sum_{k=1}^{n} x^k = 1$$ Montrer que $(E_n)$ admet une unique solution, notée $x_n$. ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 15

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite de réels strictement positifs définie par : $$u_0 = 1 \qquad \text{et} \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = \sqrt{\frac{u_n}{e}}$$ Exprimer $u_n$ e...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 1

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in [0, 1]$ : $$u_n(x) = n^\alpha \, x^n(1 - x)$$ Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la série de fon...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 2

On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}$ : $$f_n(x) = nx^2 e^{-x\sqrt{n}}$$ Étudier la convergence simple de la série de fonctions $\displaystyle\sum f_n$. Étudier la c...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 3

On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}^+$ : $$u_n(x) = (-1)^n \ln\!\left(1 + \frac{x}{n(1+x)}\right)$$ Prouver que la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n \ge 1} u_n$...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 4

Soit $x \in \mathbb{R}^+$. Justifier l'existence de : $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{x+n}\right)$$ Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^+$. Soi...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 5

Soit $(\lambda_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite croissante de réels strictement positifs telle que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \lambda_n = +\infty$. On pose : $$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 6

Soit $u_n(x) = \dfrac{x}{n(1+nx^2)}$, $n \in \mathbb{N}^*$, $x \in \mathbb{R}$. Prouver que la série de fonctions $\displaystyle\sum u_n$ converge normalement sur $\math...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 7

On considère, pour $x \in \mathbb{R}^+$ et $n \in \mathbb{N}^*$ : $$u_n(x) = \frac{(-1)^n}{x+n}$$ Prouver que la série de fonctions $\displaystyle\sum u_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}^...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 8

Justifier que l'on définit une application $f$ continue sur $[0, +\infty[$ en posant : $$\forall x \in \mathbb{R}^+, \quad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{n^2+1}$$ Calculer ...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 9

On rappelle que pour tout $t \in \mathbb{R}$ : $e^t = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{t^n}{n!}$. Pour tout $x > 0$, on pose : $$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!(x+n)}$$ P...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 10

Justifier que l'on définit une application $f$ sur $\mathbb{R}$ en posant : $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^2}{e^{2nx} + e^{-3nx}}$$ Prouver que $...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 11

Justifier que l'on définit une application $f$ continue sur $]0, +\infty[$ en posant : $$\forall x > 0, \quad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-x\sqrt{n}}$$ À l'aide d'une comparaison sé...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 12

VĂ©rifier que $\forall x \in \mathbb{R}$ : $$\frac{1}{1 - 2e^{ix}} = -\sum_{p=1}^{+\infty} \frac{e^{-ipx}}{2^p}$$ Soit $n \in \mathbb{Z}$. Calculer $I_n = \displaystyle\int_0^{2\pi} \fr...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 13

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on pose : $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2x}{x^2 + n^2}$$ Montrer que $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$. Soit $x > 0$. Pour tout $t \in \math...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 14

Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{x\,e^{-nx}}{\ln n}$, $x \in \mathbb{R}$. Déterminer le domaine de définition de $f$. Prouver que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^+$. ...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 15

On pose, pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\sin(2^n x)}{2^n}$$ Prouver que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\,dx...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 16

On note, pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ : $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \ln\!\left(1 + \frac{x}{n^2}\right)$$ Vérifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}^+$. Prouver que $f$ est con...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 17

Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\arctan\!\left(\frac{x}{n}\right)$, $x \in \mathbb{R}$. Déterminer l'ensemble de définition de $f$. Montrer que $f$ est de classe ...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 18

Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1 + n^2 x^2}$, $x \in \mathbb{R}$. Déterminer le domaine de définition de $f$. Montrer que $f$ est continue sur $]-\infty, 0[$ et su...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 19

Soit $a \in ]0, 1[$. Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \sin(a^n x)$, $x \in \mathbb{R}$. VĂ©rifier que $D_f = \mathbb{R}$ et que $f$ est impaire. Prouver que $f$ est continue s...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SERF 20

Soit $x \in ]-1, 1[$. Montrer que la série $\displaystyle\sum_{n \ge 1} \dfrac{x^n}{n}$ converge. On pose : $$S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$$ ...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 16

Prouver que la série \[ \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \] converge et calculer sa somme. ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 17

Prouver que la série \[ \sum_{n \ge 1} \frac{1}{4n^2 - 1} \] converge et calculer sa somme. ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 18

Justifier la convergence et calculer la somme de la série \[ \sum_{n \ge 2} \ln\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) \] ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 19

Prouver que la série \[ \sum_{n \ge 2} \ln\left(1 - \frac{2}{n(n+1)}\right) \] converge et calculer sa somme....

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 20

Soit $ (a, b) \in ]0, +\infty[^2 $. VĂ©rifier que \[ \arctan a - \arctan b = \arctan\left(\frac{a - b}{1 + ab}\right) \] Justifier que \[ \sum_{n \ge 0} \arctan\left(\frac{1}{1 + n + n^2}\righ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 21

Déterminer $ (a, b) \in \mathbb{R}^2 $ tel(s) que la série \[ \sum_{n \ge 1} (\ln n + a \ln(n + 1) + b \ln(n + 2)) \] converge et calculer alors sa somme. Déterminer $ (a, b) \in \mathbb{R}^2...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 22

Soit, $u_n = \left( \frac{\ln(n + 1)}{\ln n} \right)^n \quad : n\geq 2 $. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Déterminer la nature de la série de terme général $ \frac{u_n - 1}{n} $. ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 23

Déterminer la nature des séries de termes généraux : $ (-1)^n n^2 $ $ n \arcsin\left(\frac{1}{n}\right) $ $ \frac{1}{n} + \ln\left(1 - \frac{1}{n}\right) $ $ n \l...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 24

Déterminer la nature des séries de termes généraux : $ \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \sqrt{\sin x} \, dx $ $ \left(\ln\left(\frac{n+1}{n-1}\right)\right)^2 $ $ \frac{1}{(\ln ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 25

Déterminer les couples $ (a, b) \in \mathbb{R}^2 $ pour lesquels la série \[ \sum_{n \ge 1} \frac{(n+1)^a - n^a}{n^b} \] converge. ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 26

Soient $ a > 0 $ et $ \alpha \in \mathbb{R} $. Étudier la nature des séries de terme général : $ \frac{1 + a^n}{n^2} $ $ n a^{\sqrt{n}} $ $ a^n (\ln(n+1) - \ln n) $ ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 27

Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite de réels telle que les séries $ \sum_{n \ge 0} u_{2n} $ et $ \sum_{n \ge 0} u_{2n+1} $ convergent. Montrer que la série $ \sum_{n \ge 0} u_n $ converg...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 28

Soit $ (u_n) $ une suite à termes positifs. Prouver que les séries de termes généraux $ u_n $ et $ \frac{u_n}{1 + u_n} $ sont de même nature. Prouver que les séries de termes g...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 29

Soit $ f \in \mathcal{C}^1([1, +\infty[, \mathbb{R}^{+*}) $ telle que $ \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)} = -\infty $. Calculer $ \lim_{n \to +\infty} \frac{f(n+1)}{f(n)} $. Ind...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 30

On considère la suite $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ définie par : \[u_n=\begin{cases} \frac{1}{n} \quad &\text{ si $~n~$ est une puissance entière de 2}\\\\ 0 \quad &\text{ sinon}\end{ca...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 31

Soit $k$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. Justifier que \[ \int_{k-1}^{k} \ln x \, dx \le \ln k \le \int_{k}^{k+1} \ln x \, dx \] En déduire un équivalent simple de $ \ln(n!) $ quand $n$ t...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 32

Soit: \[ u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln(n), n \in \mathbb{N}^* \] Prouver que la suite $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} $ converge. ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 33

Soit: \[ u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n}, n \in \mathbb{N}^* \] Prouver que la suite $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} $ converge en utilisant le lien suite-série. ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 34

Soient $ \sum u_n $ et $ \sum v_n $ deux séries à termes positifs convergentes. Montrer que la série $ ~~\sum \max(u_n, v_n) ~~$ converge. En déduire que $ \sum u_n^{\frac{1}{5}} v...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 35

Soit $ ~~\sum u_n ~~$, une série à termes positifs convergente. Montrer que les séries $~~ \sum u_{2n} ~~$ et $~~ \sum \sqrt{u_n u_{2n}} ~~$ convergent. ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 36

Soient $~~(a_n)$, $~~(b_n)~~$ et $~~(c_n)~~$ trois suites réelles telles que: \[ \forall n \in \mathbb{N}, a_n \le b_n \le c_n \] On suppose que les séries $ ~~\sum_{n \ge 0} a_n~~ $ et $ ~~\s...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 37

Soient $ \sum u_n $ et $ \sum v_n $ deux séries à termes strictement positifs telles que : \[ \forall n \in \mathbb{N}, \frac{u_{n+1}}{u_n} \le \frac{v_{n+1}}{v_n} \quad (\text{ou } \forall n \in \mat...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 38

Soit $ ~\alpha > 1~ $ et soit: \[ R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^{\alpha}},\quad n \in \mathbb{N}\] DĂ©terminer un Ă©quivalent simple de $ R_n $, en l' encadrant par deux i...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 39

Soit $ f $ une application de $ \mathbb{R} $ dans $ \mathbb{R} $ contractante, c'est-Ă -dire qu'il existe $ C \in [0, 1[ $ telle que: \[ \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2, |f(x) - f(y)| \le C|x -...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 40

Soit $ ~~\sum_{n \ge 0} u_n ~~$ une série absolument convergente, de somme $ U $. On pose : \[ v_n = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{n} 2^k u_k, n \in \mathbb{N} \] Justifier que la série $ ~~\sum_{n \g...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 41

Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite réelle telle que la série $ ~~\sum_{n \ge 0} u_n^2~~$ converge. Montrer que la série $ \sum_{n \ge 0} u_n u_{n+1} $ converge. ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 42

Soit $ f \in \mathcal{C}^3([-1, 1], \mathbb{R}) $. et soit: \[ u_n = n \left( f\left(\frac{1}{n}\right) - f\left(-\frac{1}{n}\right) \right) - 2f'(0) : ~~n \in \mathbb{N}^* \] DĂ©terminer la na...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 43

Soit: \[ u_n = (-1)^n (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}), n \in \mathbb{N} \] La série $ \sum_{n \ge 0} u_n $ est-elle convergente ? est-elle absolument convergente? ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 44

Étudier la nature de la série \[ \sum_{n \ge 2} \ln\left(\frac{\sqrt{n} + (-1)^n}{\sqrt{n+1}}\right) \] ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 45

Soit $ \alpha > 0 $. Étudier la nature des séries: \[ \sum_{n \ge 2} \frac{(-1)^n}{n^{\alpha} + (-1)^n} \qquad \text{et} \qquad \sum_{n \ge 2} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^{\alpha} + (-1)^n}} \] ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 46

Soit $ \alpha \in \mathbb{R} $. Étudier la nature de la série: \[ \sum_{n \ge 1} (-1)^n n^{\alpha} \left( \frac{1}{n} - \sin\left(\frac{1}{n}\right) \right) \] ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 47

Étudier la nature de la série: \[ \sum_{n \ge 0} \sin(\pi \sqrt{n^2 + 1}) \] ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 48

Soit $ \alpha > 0 $. Étudier la nature de la série: \[ \sum_{n \ge 2} \ln\left(1 + \frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\right) \] ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 49

Étudier la nature de \[ \sum_{n \ge 1} (-1)^n \sqrt[n]{n} \sin \frac{1}{n} \] ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 50

Étudier la nature de la série complexe \[ \sum_{n \ge 1} \left(1 - \frac{1 - i}{n}\right)^{n^2} \quad \text{où } i^2 = -1 \] ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 51

Question 1 : Pour tout $ \alpha \in \mathbb{R} $ et tout $ \beta > 1 $, montrer que la série \[ \sum_{n \ge 2} \frac{(\ln(n))^\alpha}{n^\beta} \] est convergente. Pour cela, on compar...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 52

Déterminer la nature des séries dont le terme général suit : $ a_n = 2^{-(\ln(n))^{1/3}} $ $ b_n = (n+1)^{1/n} - n^{1/n} $ $ c_n = \tan\left(\frac{1}{n}\right) - \sin\le...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 53

Exercice SSN 53 Étudier la nature des séries dont les termes généraux suivent. Pour $ d_n $ et $ i_n $, calculer la somme. $ a_n = \frac{3^n}{n} $ $ b_n = \frac{n}{3 + \cos(...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 54

Soit $ s \in \mathbb{R} $. Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite réelle strictement positive. On fait l'hypothèse : \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 - \frac{s}{n} + \mathcal{O}\left(\frac...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 55

Pour tout $ z \in \mathbb{C} $, déterminer si les sommes suivantes existent et calculer leurs valeurs éventuelles : $ \sum_{n=1}^{+\infty} z^{2n-1} $ $ \sum_{n=0}^{+\infty}...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 56

Pour tout $ \alpha > 1 $, exprimer \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^\alpha} \quad \text{et} \quad \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(2k + 1)^\alpha} \] en fonction de $ \zeta(\alpha) $. ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 57

On fixe $ (a, b) $ dans $ \mathbb{R}^2 $. Pour tout $ n $ dans $ \mathbb{N}^* $, on pose \[ u_n = \ln(n) + a \ln(n + 1) + b \ln(n + 2) \] Obtenir un développement asymptotique de $ u_n $ ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 58

Montrer que pour tout $ n $ dans $ \mathbb{N} $, le nombre \[ u_n = (2 + \sqrt{3})^n + (2 - \sqrt{3})^n \] est un entier. En déduire que la série de terme général $ \sin[\pi(2 + \sqrt{3})^n] $ ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 59

Montrer que la série \[ \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^n}{(n!)^{1/n}} \] est convergente. Est-elle absolument convergente ? ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 60

Soit $ \alpha > 0 $. Étudier la nature de la série de terme général \[ \ln\left(1 + \frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right) \] ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 61

Étudier la nature de la série \[ \sum_{n \ge 2} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n} \] ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 62

On considère une fonction $ f $ définie sur $ ]0, +\infty[ $, à valeurs réelles, décroissante, convexe, de limite nulle en $ +\infty $. Le théorème des séries alternées permet alors de définir une...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 63

Étudier la nature de la série de terme général: \[ u_n = \sin(\pi \sqrt{n^2 + 2n})\] ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 64

Montrer que $~\cos(1)~$ est irrationnel. ...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice SSN 65 (Centrale 2015)

Soit $ \sum_{n \ge 2} a_n $ une série convergente à termes strictement positifs. Pour tout $ n \ge 2 $, on pose : \[ b_n = -a_n \frac{\ln(a_n)}{\ln n} \] Par une étude de $ x \ma...

Suites et séries numériques Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 1

Soit $ (a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3 $. Les fonctions $ x \mapsto \sin(x + a_k) $ sont-elles linéairement indépendantes ?...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 2

Montrer que les fonctions définies sur $ ]0, +\infty[ $ par : \[ f_1 : x \mapsto x \quad f_2 : x \mapsto x^2 \quad f_3 : x \mapsto x \ln(x) \quad f_4 : x \mapsto x^2 \ln(x) \] sont linéairement indé...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 3

Soit $ E $ un espace vectoriel complexe. On prend des vecteurs $ v_1, \dots, v_n $ de $ E $. Soit $ A $ une matrice de $ \text{GL}_n(\mathbb{C}) $. On fait l'hypothèse : \[ \forall i \in [\![ 1, n ]...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 4

Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel. Soit $ f \in \mathcal{L}(E) $. Montrer les Ă©quivalences suivantes : \[ \text{Im}(f) \cap \text{Ker}(f) = \{0\} \iff \text{Ker}(f) = \text{Ker}(f^2) \] ...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 5

Soient $ f $ et $ g $ dans $ \mathcal{L}(E, F) $, oĂą $ E $ et $ F $ sont de dimension finie. DĂ©montrer l'encadrement suivant : \[ |\text{rg}(f) - \text{rg}(g)| \leqslant \text{rg}(f + g) \leqslant \t...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 6

Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie. On considère deux endomorphismes $ f $ et $ g $ de $ E $ et on fait les hypothèses suivantes : \[ f + g = \text{Id}_E \quad \text{et} \quad \text{rg...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 7

Soit $ f $ un endomorphisme d'un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel $ E $. On suppose que pour tout $ x \in E \setminus \{0_E\} $, la famille $ (x, f(x)) $ est linéairement dépendante. Montrer qu'il ex...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 8

Soient $ p $ et $ q $ deux projecteurs d'un espace vectoriel $ E $. Montrer que si $ p $ et $ q $ commutent, alors $ p \circ q $ est un projecteur, dont on exprimera le noyau et l'image en fonction de...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 9

Soient $ E, F, G $ des $ \mathbb{K} $-espaces vectoriels de dimension finie. Soient $ f \in \mathcal{L}(E, F) $ et $ g \in \mathcal{L}(F, G) $. Démontrer l'égalité : \[ \dim(\text{Im}(...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 10

On pose $ N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $. Soit $ M $ une matrice de $ \mathcal{M}_3(\mathbb{C}) $. On fait l'hypothèse $ M^2 = N $. Justifier que $ M $ ...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 11

Exercice 11 (**) Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie, donc la dimension est notée $ n $. Soit $ f $ un endomorphisme de $ E $. On suppose que $ f $ est nilpotent, ce qui signifie qu'il...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 12

Une matrice triangulaire supérieure stricte de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ est une matrice triangulaire supérieure de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ dont tous les coefficients diagonaux sont nuls. ...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 13

Soient $ E $, $ F $ et $ G $ trois $ \mathbb{K} $-espaces vectoriels de dimension finie. Soient $ u \in \mathcal{L}(E, G) $ et $ v \in \mathcal{L}(F, G) $. Montrer que l'inclusion $ \text{Im}(u) \sub...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 14

Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension $ p $. Soit $ F $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension $ n $. Soit $ E_1 $ un sous-espace vectoriel de $ E $ de dimension $ p_1 $...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 15

Montrer que les matrices: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{ et } \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] s...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 16

Montrer que la matrice $ A = (\sin(i+j))_{1 \leqslant i, j \leqslant n} $ est de rang 2....

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 17

Trouver tous les couples $ (A, B) $ de matrices de $ \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $ vérifiant les égalités $ AB = BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $....

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 18

On note $ (E_{i,j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} $ la base canonique de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $. Pour tout quadruplet $ (i, j, k, \ell) $ d'indices de $ [\![ 1, n ]\!] $, montrer l'Ă©gal...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 19

On fixe $ A $ dans $ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ et on définit l'endomorphisme: \begin{align} \Phi_A: \quad \mathcal{M}_n(\Bbb R) &\longrightarrow \mathcal{M}_n(\Bbb R)\\ X &\longmapsto XA \\...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 20

On considère une matrice $ M = (m_{j,k})_{1 \leqslant j, k \leqslant n} $ de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ et on suppose que $ M $ est une matrice à diagonale dominante selon les lignes, ce qui s'écri...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 21

On fixe $ n $ dans $ \mathbb{N}^* $ et pour tout couple $ (a,b) \in \mathbb{R}^2 $, on note $ M(a,b) $ la matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ dont les coefficients diagonaux valent $ a $ et tous ...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 22

Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie. Soient $ F $ et $ G $ deux sous-espaces vectoriels de $ E $ ayant mĂŞme dimension. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel de $ E $ qui soit Ă  ...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 23

Soient $ E, F, G $ trois espaces vectoriels de dimension finie. On considère $ u \in \mathcal{L}(E, F) $ et $ v \in \mathcal{L}(F, G) $. Montrer les inégalités \[ \text{rg}(v \circ u) \leqslant \min...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 24

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On suppose que $ A $ est de rang 1. Montrer qu'il existe des vecteurs colonnes $ X $ et $ Y $ non nuls tels que $ ~A = X \cdot Y^{\text{T}} $. En ...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 25

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On note $ r $ le rang de $ A $. Montrer qu'il existe des vecteurs colonnes $~ X_1, \dots, X_r, Y_1, \dots, Y_r ~$; tels que: \[ A = \sum_{k=1}^r X_k \cdot ...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 26

Soit $ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $. On suppose que $ M $ n'est pas un multiple de $ I_n $. Montrer qu'il existe $ P \in \text{GL}_n(\mathbb{C}) $ telle que $ P^{-1}MP $ ait $ E_2 $ pour p...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 27

Soit $ (a,b,c) \in \mathbb{K}^3 $. Calculer : \[ \begin{vmatrix} a+b & b+c & c+a \\ a^2+b^2 & b^2+c^2 & c^2+a^2 \\ a^3+b^3 & b^3+c^3 & c^3+a^3 \end{vmatrix} \]...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 28

Soit $ A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ Calculer le déterminant de la matrice de coefficients $~~ a_{i,j} = \max(i, j) $....

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 29

Soient $ n $ dans $ \mathbb{N}^* $ et tout $ z $ dans $ \mathbb{C}^* $, Soit $ M_n(z) $ dans $ \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ dont les coefficients diagonaux valent $ z + \frac{1}{z} $, les coefficient...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 30

Soient $ A, B, C $ dans $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. Calculer le déterminant de la matrice $ \begin{pmatrix} 0 & A \\ B & C \end{pmatrix} $....

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 31

Soit $ B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $. Montrer l'égalité $ \det\begin{pmatrix} I_n & B \\ B & I_n \end{pmatrix} = \det(I_n - B^2) $....

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 32

Soit $ C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On suppose que l'égalité: \[ \det(C + M) = \det(M) \] a lieu pour toute matrice $ M $ de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $ C $ est nulle. Pou...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 33

Calculer le déterminant et la trace de l'endomorphisme : \begin{align} T :\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) &\longrightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\\ M &\longmapsto M^{\text{T}} \end{align}...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 34

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. Calucler le determinant de l'endomorphisme: \begin{align} \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) &\longmapsto \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \\ M &\longmapsto AM \end{al...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 35

On fixe un entier $ n \geqslant 2 $. Soient $ A $ et $ B $ deux matrices de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. Montrer que la fonction \[ \begin{align*} f_{A,B} : \mathbb{K} &\longrighta...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice ALG-LIN 36

Soit un entier $ n \geqslant 2 $. On pose $ \omega = \exp(i2\pi/n) $. On note $ A $ la matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ de coefficients $ a_{p,q} = \omega^{(p-1)(q-1)} $. Calculer un a...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 1

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ de colonnes $ C_1, \dots, C_n $. Calculer le déterminant de la matrice $ B $ de colonnes: \[ C_1 - C_2, \dots, C_{n-1} - C_n, C_n - C_1 .\]...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 2

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \quad (n \ge 2) $, de colonnes, $~ A_1, \dots, A_n $. et Soit $~ B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) ~$ de colonnes, $~ B_1, \dots, B_n $ déterminées par: \[ B_...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 3

Soient $ A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ telles que $ AB = BA $. Montrer que $ \det(A^2 + B^2) \ge 0 $....

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 4

Soient $ n \in \mathbb{N}^* $, $~E ~$ un $~ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension $ n $, $ f \in \mathcal{L}(E) $ et $ \mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n) $ une base de $ E $. Montrer que pour tout...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 5

Soient $ A \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R}) $ antisymétrique et $ J \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R}) $ la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. Etablir : \[ \forall x \in \mathbb{R}, \...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 6

Calculer le déterminant : \[ \begin{vmatrix} a_1+x & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_2+x & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n+x \end{vmatrix} \] pour $ ~~x, ...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 7

Soient $ x_1, \dots, x_n \in \mathbb{C} $. Calculer le déterminant de Vandermonde : \[ V_n(x_1, \dots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 8

Calculer pour $ a_1, \dots, a_n~$ dans $~\mathbb{K}, ~$ le déterminant suivant : \[ D_k = \begin{vmatrix} 1 & a_1 & \cdots & a_1^{k-1} & a_1^{k+1} & \cdots & a_1^n \\ 1 & a_2 & \cdots & a_2^{k-1} & ...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 9

Calculer : \[ D_n = \begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-2} & a_1^n \\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-2} & a_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & a_n & a_...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 10

Soient $~\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{C} ~$ distincts et $~ P(X) = \prod_{i=1}^n (X - \lambda_i) $. Calculer : \[ \Delta(X) = \begin{vmatrix} \frac{P(X)}{X - \lambda_1} & \frac{P(X)}{X -...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 11

On pose $ P_n(X) = X^n - X + 1 $. Montrer que $ P_n $ admet $ n $ racines distinctes $ z_1, \dots, z_n $ dans $ \mathbb{C} $. Calculer le déterminant de la matrice : \[ \begin{pmatrix...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 12

Soient $ a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n \in \mathbb{C} $. Calculer le déterminant de la matrice de coefficient : \[ a_{i,j} = \begin{cases} a_i + b_i & \text{si } i = j \\ b_j & \text{sinon} \end...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 13

Pour $ a \in \mathbb{K}^* $, calculer[cite: 36]: \[ D_n = \begin{vmatrix} 2a & a & & (0) \\ a & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & a \\ (0) & & a & 2a \end{vmatrix} \] ...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 14

Soient $ a, b \in \mathbb{C}^* $ distincts. Calculer: \[ D_n = \begin{vmatrix} a+b & ab & & (0) \\ 1 & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & ab \\ (0) & & 1 & a+b \end{vmatrix} \]...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 15

Soient $ x \in \mathbb{C} $ et $ n \in \mathbb{N}^* $. Calculer: \[ D_n = \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & & (0) \\ x & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & x \\ (0) & & x & 1+x^2 \end{vmatrix}_{[n]} ...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 16

Soient $ \theta \in \mathbb{R} $ et $ n \in \mathbb{N}^* $. Calculer: \[ D_n = \begin{vmatrix} 2\cos\theta & 1 & & (0) \\ 1 & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & 1 \\ (0) & & 1 & 2\cos\theta \en...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 17

Calculer: \[ D_n = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ 2 & 1 & 0 & \ddots & 2 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ n & \cdots & 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}_{[n...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 18

Soient $ A, B, C, D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On suppose que $ D $ est inversible et que $ C $ et $ D $ commutent. Établir : \[ \det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det(AD - BC)...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 19

Soient $ A, B, C, D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ avec $ AC = CA $. Montrer que : \[ \det\begin{pmatrix} A & C \\ B & D \end{pmatrix} = \det(DA - BC) \]...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 20

Soient $ A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $. Montrer que: \[ \begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = \det(A+B)\det(A-B) .\] Justifier que: \[ \begin{vmatrix} A & -B \\ B & A \...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 21

Exercice 21 Soient $ B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ et : \[ A = \begin{pmatrix} I_n & B \\ B & I_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R}) \] A quelle condition la matrice $ A $ est...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 22

Montrer que le polynĂ´me $ P(x) $ suivant est divisible par $ (x-1)^3 $: \[ P(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \end{vmatrix} \]...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice DET 23

Soit la matrice $ A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On définit la matrice $ B = (b_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ en posant : \[ b_{i,j} = (-1)^{i+j} a_{i,j} \] Comparer $ \det(...

DĂ©terminants Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 1

Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de l'endomophisme $f$ de $\mathbb{R}[X]$ défini par : \[ f(P) = (X+1)(X-3)P' - XP \] Indication : On pourra examiner les termes de plus haut degr...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 2

Exercice 2 Déterminer les valeurs propres et des bases des sous-espaces propres des endomorphismes canoniquement associés aux matrices suivantes : \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatri...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 3

Soit: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} .\] DĂ©terminer les valeurs propres de $A$ et une base de chaque sous-espace propre. A est-elle diagonalisable? J...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 4

Exercice 4 Que peut-on dire d'une matrice diagonalisable admettant 1 pour seule valeur propre ? Que peut-on dire d'une matrice diagonalisable admettant une unique valeur propre ? La...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 5

Soit $ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $ Chercher les valeurs propres et vecteurs propres de $A$. $A$ est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une matrice de passage dia...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 6

Soit: \[ A = \begin{pmatrix} -4 & -6 & 0 \\ 3 & 5 & 0 \\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix} \] DĂ©terminer les valeurs propres de $A$ Diagonaliser $A$ ...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 7

On donne: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}\qquad ;\qquad B = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} \end{pmatrix...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 8

On désinge par $\Delta$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ défini par: \[\Delta(P) = P(X) - P(X-1).\] Décrire le noyau et l'image de $\Delta$. Donner le spectre de $\Delta$ et préciser si c'...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 9

Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ défini par : \[ f\left(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \] Montrer que $...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 10

Soit $ n \in \mathbb{N}^* $. On dit qu'une matrice $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ est nilpotente s'il existe un entier $ p \in \mathbb{N}^* $ tel que $ A^p = 0 $. Montrer que les propriétés suiv...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 11

Soit $ E = \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ et soit u l'endomorphisme de $E$ définit par: \begin{align} u: E &\longrightarrow E\\ A&\longmapsto A^{T} \end{align} Montrer que $u$ est diagonalisable...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 12

Soit : \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \qquad ;\qquad B = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -3 & 7 \end{pmatrix} .\] Montrer que $ A $ et $ B $ sont semblables....

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 13

Soient: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & -2 & 2 \\ -3 & -3 & 3 \end{pmatrix}~ ; ~B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}~;~C= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 14

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Calculer $ A^n. $ Diagonaliser, $ A $. En déduire $ A^n $ où $ n \in \mathbb{N}$ ...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 15

Rechercher les valeurs propres puis diagonaliser $ A$: \[A = \begin{pmatrix} 5 & 3 & -3 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} .\] Rechercher les valeurs propres puis diagonaliser, les m...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 16

Soit: $~ u_0 = 1 ~;~ v_0 = 1~ ;~ w_0 = -1 $. Pour tout $ n \in \mathbb{N} $, on définit : \[ \begin{cases} u_{n+1} = 2u_n + 3v_n - 3w_n \\ v_{n+1} = -u_n + w_n \\ w_{n+1} = -u_n + v_n \end{cases}...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 17

Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel. Soit $ f $ un endomorphisme de $ E $ vérifiant : \[ f^3 - f^2 + f - \text{id}_E = 0 \] Que dire des valeurs propres de $ f $ ? On distinguera le...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 18

Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension finie et soit $ f \in \mathcal{L}(E).$ Et soit, $~ P = \sum_{k=0}^n a_k X^k,~$ un élément de $ \mathbb{K}[X]. $ On note $ P(f) $ l'endom...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 19

Soit $ x \in \mathbb{R} $. Soit $ A $ la matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ définie par: \[ a_{i,i} = x \quad \text{et} \quad a_{i,j} = 1 \quad \text{ si }\quad i \ne j \] $ A $ est-elle d...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 20

Soit: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 36 \end{pmatrix} \] Diagonaliser $ A $ Trouver les matrices $ M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) $ telles que: \[ MA = AM \] ...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 20

Soit: \[A = \begin{pmatrix}11&-5&5\\ -5&3&-3\\ 5&-3&3\end{pmatrix}\] Trouver toutes les matrices $~B~$ de taille 3 telles que $~B^{2}=A$ Indication : diagonaliser $A$ ...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 21

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 36 \end{pmatrix} \] Diagonaliser $ A $ puis trouver les matrices $ M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) $ telles que: \[ MA = AM \]...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 22

Dans l'ensemble $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$, on considère les matrices $A$ et $M$ vérifiant : \[ A^{3}=-A \qquad ; \qquad \text{rg}(A)=2 \qquad \text{et} \qquad M=\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&-...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 23

Soient, $a$ un réel donné, $E=\mathbb{R}_{n}[X]~$ et $~f~$ l'application définie sur $~E~$ par : \[ f(P)=(X-a)(P^{\prime}+P^{\prime}(a))-2(P-P(a)) \] Vérifier que $f$ est bien un endomorphisme ...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 24

Soit $n$ un entier naturel non nul et soit $~A~$ la matrice d'ordre $n$ définie par: \begin{cases} a_{i,1}&=1 \\ a_{n,j}&=1 \text{ si } \\ a_{i,j}&=0 \quad \text{ si } j\ne 1 ~\text{ et }~ i\ne n \...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 25

Pour tout triplet $(a,b,c)\in\mathbb{C}^{3}$, on considère la matrice : \[ M(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{pmatrix} \] Montrer que les matrices $M(a,b,c)$ commutent entre ell...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 26

Trigonaliser les matrices suivantes : \[ A=\begin{pmatrix}5&-4&-3\\ 2&-1&-1\\ 1&-1&0\end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix}7&-6&-2\\ 2&0&-1\\ 2&-3&2\end{pmatrix} \quad C=\begin{pmatrix}1&1&-2&0\\ 2&1&0...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 27

Soit $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par : \begin{cases} u_{0}&=1 \quad ; \quad u_{1}=-1 \quad ; \quad u_{2}=0 \\\\ u_{n+3}&=7u_{n+1}-6u_{n} \end{cases} Exprimer $u_{n}$ en fonction ...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 28

Soient : \[ A=\begin{pmatrix}2&2&1\\ 1&3&1\\ 1&2&2\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B=\begin{pmatrix}2&1&-1\\ 0&2&-1\\ -3&-2&3\end{pmatrix} \] Montrer que $A$ et $B$ ont les mĂŞmes valeurs prop...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 29

Soit $u$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ tel que: \begin{cases} u^{3}&=0 \\ u^{2}&\ne 0 \end{cases} Montrer qu'il existe une base dans laquelle $u$ a pour matrice : \[ \begin{pma...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 30

Diagonaliser les matrices suivantes : $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad C = \beg...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 31

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\] Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice $A$. Montrer que $A$ est diagonalisable. Calculer $A^k$ pou...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 32

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 1 & j & j^2 \\ j & j^2 & 1 \\ j^2 & 1 & j \end{pmatrix}.\] Étudier la diagonalisabilité de $A$. déterminer son polynôme caractéristique, calculer $\exp(A)$. Propos...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 33

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & -1 & -2 \end{pmatrix}\] Calculer le polynôme caractéristique de $A$. Trigonaliser la matrice $A$. ...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 34

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\] Calculer le polynôme caractéristique de $A$. Trigonaliser la matrice $A$. ...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 35

Soit $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & & (0) \\ \vdots & & \ddots & \\ 1 & (0) & & 1 \end{pmatrix} \] DĂ©terminer les valeurs propres de la matrice ...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 36

Soit, $A=(a_{ij})$, la matrice carré d'ordre $n$ définie par : \begin{cases} a_{ij} = 1 \text{ si } |i - j| = 1 \\ \\a_{ij} = 0 ~\text{ sinon} \end{cases} Diagonaliser $A$...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 37

Soit $J\in \mathcal{M}_{p,q}(\Bbb R)$ avec: \[J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ \cdot & \cdot & \cdots \cdots & \cdot\\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot &\\ \cdot & \cdot & \cdots & \cd...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 38

Soit: \begin{align} \Phi : \mathbb{R}[X] &\longrightarrow \mathbb{R}[X] \\ P &\longmapsto (1 - X^2)P' + nXP \end{align} Montrer que $\mathbb{R}_n[X]$ est stable par $\Phi$. (On note $\Phi_...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 39

Dans $E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$, on définit l'application : \begin{align} T: E &\longrightarrow E\\ f & \longmapsto T(f) :~\begin{cases} T(f)(0)&= f(0) \\ T(f)(x) &= \frac{1}{x} \int\l...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 40

Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $AB$ et $BA$ ont les mĂŞmes valeurs propres. Montrer que si l'une au moins des matrices $A,~B$ est inversible, alors $AB$ et $BA$ on...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 41

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{C}$-espace vectoriel $E$ de dimension $n$. On suppose que $f$ possède une unique valeur propre $\lambda$. A quelle condition l'endomorphisme est-il dia...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 42

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$. On suppose qu'il existe $x_0 \in E$ et $p \in \mathbb{N}$ tels que $(x_0, f(x_0), \dots, f^{p-1}(x_0))$ soit une famille...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 43

Soit $f$ et $g$ deux endomorphismes diagonalisables qui commutent. Montrer qu'il existe une base commune de diagonalisation (on dit que $f$ et $g$ sont simultanément diagonalisables)....

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 44

Montrer que pour tout $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on: \[\det(\exp(A)) = \exp(\mathrm{tr}(A))\] indication : utiliser la trigonalisation...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 45

Déterminer les valeurs propres de la matrice $A$ définie par: \[A= \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & \cdots & 1 & 1 \end{pmatrix} \in \math...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 46

Soient $n \ge 3$, et: $$ A = \begin{pmatrix} 0 & & (0) & 1 \\ 1 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 1 \\ 1 & (0) & & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $$ Soit $f$ l'endomorphisme ...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice RedEndo 47

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{C}$-espace vectoriel $E$ de dimension $n$. On suppose que $f$ possède une unique valeur propre $\lambda$. A quelle condition l'endomorphisme est-il dia...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 1

Soit $G$ un groupe. On appelle centre de $G$ l'ensemble: \[Z(G) = \{g \in G | \forall h \in G, gh = hg\}\] Montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe de $G$....

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 2

Soit $G$ un groupe tel que: \[\forall x\in G: x^2=e\] Montrer que G est commutatif....

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 3

Donner un exemple de groupe infini dont tous les éléments sont d'ordre fini....

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 4

Montrer que l'ensemble des bijections continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est un sous-groupe de $\text{Bij}(\mathbb{R})$....

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 5

Les bijections dérivables de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ forment-elles un sous-groupe de $\text{Bij}(\mathbb{R})$ ?...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 6

Quels sont les sous-groupes finis de $\mathbb{C}^*$ ?...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 7

Soit $G$ un groupe et $A$ une partie finie non vide de $G$ stable par produit. Montrer que $A$ est un sous-groupe de $G$. (On pourra considérer la suite $(g^n)_{n \in \mathbb{N}}$.)...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 8

Soit $A$ une partie du groupe $G$ et soit $~~\varphi : G \to G'~$ un morphisme de groupes. Montrer que $\langle \varphi(A) \rangle = \varphi(\langle A \rangle)$....

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 9

Caractériser les groupes finis d'ordre premier....

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 10

Soit $s \in \mathcal{S}_n$ un cycle. À quelle condition sur $d \in \mathbb{Z}$, $s^d$ est-il un cycle ?...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 11

Caractériser les groupes $G$ dont les seuls sous-groupes sont $G$ et $\{e\}$....

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 12

Le groupe $~\mathbb{Q}~$ admet-il une partie génératrice finie ?...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 13

Soient $(G, *)$ un groupe, $H$ un ensemble et $~f : G \to H~$ une bijection. Montrer que la loi $\bullet$ sur $H$ définie par: \[h_1 \bullet h_2 = f\left(f^{-1}(h_1) * f^{-1}(h_2)\right)\] est u...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 14

L'ensemble $\mathbb{D}$ des nombres décimaux est-il un sous-anneau de $\mathbb{Q}$ ? Un sous-corps de $\mathbb{Q}$ ?...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 15

Soit $A$ un anneau commutatif intègre et non nul. Montrer que si $A$ est fini, alors $~A~$ est un corps. Montrer que si $~A~$ n'a qu'un nombre fini d'idéaux, alors $~A~$ est un corps. In...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 16

Soit $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal de $A$. On appelle radical de $~I~$ le sous-ensemble de $~A~$ défini par: \[ \sqrt{I} = \{x \in A | \exists n \in \mathbb{N}, x^n \in I\} \] Mo...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 17

Quels sont les idéaux de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ?...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 18

Soit $E$ un $\mathbb{F}_3$-espace vectoriel de dimension 5. Combien y a-t-il de couples $(u, v) \in E^2$ libres ? Combien y a-t-il de bases d'un plan fixé de $E$ ? Combien l'espace vectoriel $\mathbb{...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 19

Déterminer les polynômes irréductibles de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]$ de degré $\leqslant 5$....

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 20

Soit $S_p = \sum_{k=1}^n a_k^p$. Exprimer $S_2$ et $S_3$ en fonction des fonctions symétriques élémentaires en les $a_k$....

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 21

Sous la dynastie des Tang, au 7e siècle en Chine, l'empereur voulut connaitre le nombre exact de ses soldats. Bien qu'il en eût un nombre presque innombrable, il savait qu'il en avait moins d'un milli...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 22

Soit $G$ un groupe et $g$ un élément de $G$. Et Soit: \begin{align} \varphi_g: G&\longrightarrow G \\ h &\longmapsto ghg^{-1} \end{align} Montrer que $\varphi_g$ est un automorphisme de...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 23

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\tau \in \mathcal{S}_n$. Déterminer les permutations qui commutent avec $~\tau~$ (c'est le centralisateur de $\tau$ dans $\mathcal{S}_n$). En déduire le centre de $...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 24

Ă€ quelle condition les groupes $\mathbb{Z}^n$ et $\mathbb{Z}^p$ sont-ils isomorphes ?...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 25

Théorème de Cayley : Soit $G$ un groupe fini. Pour tout $g \in G$, on définit, l'application: \begin{align} L_g : G &\longrightarrow G\\ h &\longmapsto gh\end{align} On définit également l'ap...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 26

Groupe dérivé : Soit $G$ et $H$ deux groupes et $\varphi : G \to H$ un morphisme de groupes. Pour tous $a, b \in G$, on note $[a, b] = aba^{-1}b^{-1}$, appelé commutateur de $a$ et $b$. Soit $\mathcal...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 27

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On munit $\mathcal{S}_n$ de la probabilité uniforme et on note $p_n$ la probabilité qu'une permutation ait tous ses cycles de longueur $\leqslant n/2$ dans la décomposition ...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 28

Montrer que $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}^2$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{Q}^*_+$ ne sont pas isomorphes en tant que groupes....

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 29

Autres générateurs de $\mathcal{S}_n$ : Soit $n \geqslant 2$ et $\tau_i = (i\ i+1) \in \mathcal{S}_n$ avec $1 \leqslant i \leqslant n-1$. Montrer que toute permutation $s \in \mathcal{S}_n$ s'écr...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 30

Soit $n \geqslant 2$. DĂ©terminer tous les morphismes de groupes $\varphi : \mathcal{S}_n \to \mathbb{Z}$. DĂ©terminer tous les morphismes de groupes $\varphi : \mathcal{S}_n \to \mathbb{C}^*$....

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 31

Le $n$-cycle $(1\ 2\ \cdots\ n)$ admet-il une racine carrée dans $\mathcal{S}_n$ ?...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 32

On munit $E = \mathbb{R}^n$ de son produit scalaire usuel et $G$ un sous-groupe de $GL_n(\mathbb{R})$. On suppose qu'il existe $k \in ]0, 2[$ tel que toute matrice $M$ de $G$ vérifie $|||M - I_n||| ...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 33

Soit $G$ un groupe fini de cardinal $n$. Montrer qu'il existe une partie génératrice $S$ de $G$ telle que $\text{Card}(S) \leqslant \log_2(n)$....

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 34

Homographies : Soit $\mathbb{H} = \{z \in \mathbb{C} \mid \text{Im}(z) > 0\}$. Pour tout $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbb{R})$, on considère l'application $\varphi_M$...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 35

Quels sont les deux derniers chiffres décimaux de $7^{7^{7^{7^{7^{7^7}}}}}$ ?...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 36

Théorème de Wilson : Montrer qu'un entier $p \geqslant 2$ est premier si et seulement si $(p - 1)! + 1 \equiv 0 \pmod p$....

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 37

Soient $m, n \in \mathbb{N}$. Montrer que $mn(m^{60} - n^{60})$ est divisible par $56786730$....

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 38

Nombres de Fermat, de Mersenne et d'Euclide : Soit $2^n - 1$ un nombre premier. Montrer que $n$ est premier. (Les nombres premiers de cette forme sont appelés nombres de Mersenne. Quelle est la p...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 39

Critère de primalité de Fermat : Montrer que $n$ est composé si et seulement s'il existe un entier $a$ tel que $1 témoin de Fermat. Il fournit un certificat de non-primalité pour $n$.)...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 40

Une fonction $f : \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$ est dite multiplicative si pour tout couple $(m, n)$ d'entiers premiers entre eux, $f(mn) = f(m)f(n)$. Montrer que $f$ est multiplicative si et seul...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 41

Nombres parfaits pairs : Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note $S(n)$ la somme des diviseurs dans $\mathbb{N}^*$ de $n$. Un nombre est parfait si $S(n) = 2n$. Montrer que $S$ est multiplicative, i.e...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 42

On note $\mathcal{D}(n)$ l'ensemble des diviseurs (positifs) de l'entier $n$. Soient $a, b \in \mathbb{N}^*$ premiers entre eux et $n = ab$. Montrer que l'application $\mathcal{D}(a) \times \math...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 43

Soient $a, b \in \mathbb{Z}$. À quelle condition nécessaire et suffisante portant sur $a$ et $b$ a-t-on $\mathbb{Z}/a\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/b\mathbb{Z}$ cyclique ? Déterminer tous les m...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 44

Soit $P \in \mathbb{R}[X]$. Montrer l'Ă©quivalence entre : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $P(x) \geqslant 0$ ; Il existe $A, B \in \mathbb{R}[X]$ tels que $P = A^2 + B^2$. ...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 45

Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ scindé. Montrer que $P'$ est scindé. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ scindé. Montrer que pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, $\alpha P + P'$ est scindé sur $\mathbb{R}$. ...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 46

Montrer que les automorphismes de la $\mathbb{K}$-algèbre $\mathbb{K}[X]$ sont exactement les applications $P \mapsto P(aX + b)$ où $(a, b) \in \mathbb{K}^* \times \mathbb{K}$. Montrer que le...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 47

Comment déterminer si un polynôme de $\mathbb{C}[X]$ admet une racine multiple ? (On ne sait pas déterminer les racines en général.) Soit $P \in \mathbb{Q}[X]$ irréductible. Montrer que $P$ n...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 48

Soient $P, Q \in \mathbb{R}[X]$. On suppose que $P$ et $Q$ sont scindés à racines simples et que leurs racines sont entrelacées, i.e. entre deux racines de l'un, il y a une racine de l'autre. Mon...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 49

Soit $P \in \mathbb{C}[X]$. Étudier l'injectivité et la surjectivité de $P : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$. Soit $F \in \mathbb{C}(X)$ non constant. Montrer que $F(\mathbb{C})$ est soit $\mathbb...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 50

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $E = \mathbb{R}_n[X]$. Soient $h_0, h_1, \dots, h_n$ des réels distincts. Montrer que la famille $((X+h_i)^n)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ est une base de $E$. On not...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 51

Montrer l'existence et l'unicité d'un $P_n \in \mathbb{R}[X]$ tel que pour tout $t \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$ : $$P_n(\cot^2 t) = \frac{\sin((2n + 1)t)}{\sin^{2n+1} t}.$$ Détermin...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 52

Soit $E = \mathbb{R}_n[X]$ et $(P \mid Q) = \int_0^1 P(t)Q(t)\,dt$. Montrer que $E$ muni de $(\cdot \mid \cdot)$ est un espace euclidien. Soit $K = \mathbb{R}_{n-1}[X]^\perp$ et $P \in K \set...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 53

Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. On rappelle que $\mathbb{C}[M]$ désigne l'algèbre des polynômes en $M$. Caractériser les inversibles de l'anneau $\mathbb{C}[M]$. Caractériser les divi...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 54

Montrer que les algèbres $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ ne sont pas isomorphes....

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 55

Soit $A$ un anneau commutatif. Soit $I$ un idéal de $A$ et $\mathcal{R}$ la relation sur $A$ définie par $x \mathcal{R} y$ si et seulement si $x - y \in I$. Montrer que $\mathcal{R}$ est une rela...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 56

Soit $K$ un corps fini commutatif. Montrer que $\text{Card}(K)$ est de la forme $p^n$ oĂą $p$ est premier et $n \in \mathbb{N}^*$. (Indication : montrer que $K$ est un espace vectoriel sur son sous-cor...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 57

Une algèbre de Boole $A$ est un anneau tel que $x^2 = x$ pour tout $x \in A$. Montrer que $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ est une algèbre de Boole. Montrer que tout élément est son propre opposé...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 58

Existe-t-il un sous-corps $\mathbb{K}$ de $\mathbb{R}$ tel que $\mathbb{R}$ soit un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension 2 ?...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 59

Montrer que $\alpha \in \mathbb{C}$ est algébrique si et seulement si $\mathbb{Q}[\alpha]$ est une $\mathbb{Q}$-algèbre de dimension finie. Montrer que l'ensemble $\overline{\mathbb{Q}}$ des nombres a...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 60

Soit $H$ une partie finie non-vide de $GL(n, \mathbb{R})$ stable par multiplication. Soit $M \in H$. Montrer que la suite $k \mapsto M^k$ n'est pas injective. En déduire que $H$ est un sous-group...

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice AlgGrpe 61

Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ Ă  coefficients entiers, avec $[M]_{i,i}$ impair pour tout $i$ et $[M]_{i,j}$ pair pour tous $i \neq j$. Montrer que $M$ est inversible....

Groupes et algèbres Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN1

Inégalité dans un espace vectoriel normé Soient $ (E, \| \cdot \|) $ un evn et $ (a,b,c,d) \in E^4 $. Montrer que: \[\|a-b\| + \|c-d\| \leq \|a-c\| + \|b-d\| + \|a-d\| + \|b-c\| \]...

Espaces vectoriels normés Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN2

Norme sur un espace de fonctions Soit $ E = \mathcal{C}^{1}([0,1],\mathbb{R}) $. On pose, pour tout $ f \in E $: \[N(f)=\left(f(1/2)^2+\int_0^1{e^xf'(t)^2\,dx}\right)^{\frac{1}{2}}\] Prouver que $ ...

Espaces vectoriels normés Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN3

Norme sur l'espace des polynĂ´mes On pose, pour tout $ P \in \mathbb{R}_{n}[X] $ : \[ N(P) = \left( \sum_{k=0}^{n} \left(P^{(k)}(1)\right)^{2} \right)^{\frac{1}{2}} \] Prouver que $ N $ est une norm...

Espaces vectoriels normés Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN4

Norme et dérivées Soit $ E = \left\{ f \in \mathcal{C}^{2}([0,1],\mathbb{R}) \mid f(0) = f'(0) = 0 \right\} $. Vérifier que $ E $ est un $ \mathbb{R} $-espace vectoriel. On note, pour $ ...

Espaces vectoriels normés Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN5

Norme sur l'espace des matrices Si $ A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $, on pose : \[ \|A\| = \max_{i \in \{1,\dots,n\}} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}| \] VĂ©rifier que $ \| \cdot \| $ est ...

Espaces vectoriels normés Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN6

Inexistence de norme commutative Soit $ n $ un entier supérieur ou égal à 2. Montrer qu'il n'existe pas de norme $ N $ sur $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ telle que : \[ \forall(A,B) \in \mathcal{M...

Espaces vectoriels normés Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN7

Comparaison de normes intégrales Soit $ E = \mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) $. Pour $ f \in E $, on note : \[ N(f) = \int_{0}^{1} t|f(t)|\,dt \] et on rappelle que : \[ \|f\|_{1} = \int_{0}^{1} ...

Espaces vectoriels normés Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN8

Normes sur un espace de fonctions de classe C² Si $ u \in \mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) $, on pose : $ \|u\|_{\infty} = \max_{x \in [0,1]} |u(x)| $. On rappelle que $ \|\cdot\|_{\infty} $ est une...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN9

Normes sur l'espace des polynĂ´mes Soit $ E = \mathbb{R}[X] $. Pour tout $ P = \sum_{k=0}^{n} a_{k}X^{k} $, on pose : \[ N_{1}(P) = \sum_{k=0}^{n} |a_{k}| \] et \[ N_{2}(P) = \max_{t \in [0,1]} |P(...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN10

Limite de puissances de matrices Soit $ L \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $. Prouver qu'il existe $ A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ telle que : \[ \lim_{p \rightarrow +\infty} A^{p} = L \] si e...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN11

Convergence de puissances de matrices Soit $ A \in \mathcal{A}_{n}(\mathbb{R}) $ telle que la suite $ (A^{p})_{p \in \mathbb{N}} $ converge vers $ L \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $. Prouver que $...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN12

Égalité de normes Soient $ E $ un evn et $ N_{1} $ et $ N_{2} $ deux normes sur $ E $. Soient $ a \in E $ et $ r > 0 $ tels que les deux boules fermées de centre $ a $ et de rayon $ r $ pour $ N_{1}...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN13

Partie fermée Montrer de deux façons différentes que $ \mathbb{Z} $ est une partie fermée de $ \mathbb{R} $....

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN14

Ouverts et fermés usuels Montrer que $ A = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \mid \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1 \right\} $ est un fermé de $ \mathbb{R}^{2} $, que $ B = \left\{ (x,y) \in \math...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN15

Parties fermées dans un espace de fonctions On munit $ E = \mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) $ de la norme infinie. Montrer que $ A = \{ f \in E \mid f(0) = 1 \} $ est une partie fermée de $ E...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN16

Ouverts selon les normes Soit $ E = \mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) $ et $ A = \{ f \in E \mid f(0) > 0 \} $. Montrer que $ A $ est un ouvert de l'evn $ (E, \|\cdot\|_{\infty}) $. Pour ...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN17

Topologie des sous-espaces de matrices L'ensemble $ \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R}) $ des matrices symétriques de $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ est-il une partie fermée ? Une partie bornée de $ \mathca...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN18

Combinaisons convexes Soient $ E $ un espace vectoriel et $ A $ une partie convexe de $ E $. Soit $ (u_{1},u_{2},u_{3}) \in A^{3} $. Soit $ (t_{1},t_{2},t_{3}) \in (\mathbb{R}^{+})^{3} $ tel qu...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN19

Adhérence et intérieur d'un convexe Soient $ E $ un evn et $ A $ une partie convexe de $ E $. Montrer que $ \mathring{A} $ et $ \overline{A} $ sont des parties convexes de $ E $....

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN20

Norme sur un espace de fonctions continues La fonction : \[ f \mapsto \sup_{x \in [0,1] \cap \mathbb{Q}} |f(x)| \] est-elle une norme sur $ \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}) $ ?...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN21

Existence de normes Montrer que tout $ \mathbb{K} $-espace vectoriel admettant une base, même infinie dénombrable, admet des normes....

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN22

Continuité d'applications matricielles Les fonctions suivantes sont-elles continues sur $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ ? \[ A \mapsto A^{2}, \quad A \mapsto \det(A), \quad A \mapsto \mathrm{rg}(A),...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN23

Continuité d’une forme linéaire sur ℝ[X] Soit \( \varphi : \mathbb{R}[X] \to \mathbb{R} \) définie par \( \varphi(P) = P(0) \). Est‑elle continue pour les normes suivantes ? \( P \mapsto \displ...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN24

Inégalité et norme sup sur un segment Montrer qu’il existe \( a > 0 \) tel que pour tous \( x, y \in \mathbb{R} \), \[ \sqrt{(2x-y)^2 + (y-\sqrt{7}\,x)^2} \;\le\; a\; \sup_{t\in[0,1]} |x+ty|. \]...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN26

Deux normes sur CÂą([0,1], â„ť) Soit \( E = \mathcal{C}^1([0,1], \mathbb{R}) \). Montrer que les applications suivantes sont des normes sur \( E \) : \[ N_1(f) = \|f\|_\infty + \|f'\|_\infty, \qquad ...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN27

Continuité du produit de polynômes L’application: \begin{align*} \mathbb{R}[X] \times \mathbb{R}[X] &\longrightarrow \mathbb{R}[X]\\ (P,Q) &\longmapsto PQ \end{align*} est‑elle continue pour ...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN28

On pose: \[ D = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| < 1 \} \; ? \] La suite de fonctions complexes: \begin{align*} f_n : D &\longmapsto D\\ z &\longmapsto z^n \end{align*} converge‑t‑elle unifo...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN30

Équivalence de convergences en dimension finie Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie et \((f_k)_{k\in\mathbb{N}}\) une suite d’applications linéaires de \(E\) dans \(E\). ...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN31

Extraction diagonale dans \(\ell^\infty\) Soit \(E = \ell^\infty(\mathbb{N},\mathbb{R})\) l’espace des suites réelles bornées muni de la norme \(\|(u_n)\|_\infty = \sup_n |u_n|\). Soit \(\big(u^{(n)...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN32

Norme invariante par conjugaison Soit \( n \ge 2 \). Montrer qu'il n'existe pas de norme \( N \) sur \( \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) telle que, pour tout \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \) et tou...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN33

Limite classique de \((1 + z/n)^n\) Soit \( z \in \mathbb{C} \). Montrer que \[ \lim_{n \to +\infty} \left( 1 + \frac{z}{n} \right)^n = e^z. \]...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN34

Comparaison de normes sur \(\mathcal{C}(I,\mathbb{R})\) Soit \( I \) un segment (intervalle compact) non réduit à un point et \( E = \mathcal{C}(I,\mathbb{R}) \). L'application \( f \mapsto \dis...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN35

Convergence de suites géométriques complexes Déterminer successivement l'ensemble des \( z \in \mathbb{C} \) tels que : \((z^n)_n\) converge ; \(\displaystyle\sum_{n \ge 0} z^n\) converge ; ...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN36

Stabilité de la convergence par similitude Soit \( A, B \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R}) \) semblables. Montrer que \((A^n)_n\) converge (resp. est bornée) si et seulement si \((B^n)_n\) converge (resp...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN37

Cas d'une seule valeur propre de module 1 Soit \( M \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C}) \) admettant une seule valeur propre \( \lambda \), avec \( |\lambda| = 1 \), et telle que \((M^n)_n\) soit bornée. ...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN38

Caractérisation des matrices dont la puissance \(n\)-ième tend vers \(0\) Caractériser les matrices \( M \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R}) \) telles que \((M^n)_n\) converge vers \( 0 \)....

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN39

Convergence de \((M^n)\) et projecteur limite Soit \( M \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R}) \) telle que \((M^k)_k\) converge. Montrer que sa limite est un projecteur qui commute Ă  \( M \). Montrer ...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice EVN40

Caractérisation des matrices dont la puissance \(n\)-ième est bornée Caractériser les matrices \( M \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R}) \) telles que \((M^n)_n\) est bornée....

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exrecice IG1

Nature des intégrales généralisées Étudier la nature (convergence/divergence) des intégrales suivantes : \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \ln\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}\right) dx\) \(...

Intégrales Généralisés Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG2

Convergence avec paramètre Déterminer \(\alpha \in \mathbb{R}\) tel que \[ \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan t}{t^\alpha} \, dt \] converge. Déterminer \(a \in \mathbb{R}\) pour q...

Intégrales Généralisés Solution Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG3

Exercice IG3 – Existence et calcul d'intégrales Existence et calcul des intégrales suivantes : \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{(x+1)(x+2)}\) \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG4

Intégrale paramétrée \(I(a)\) Soit \(a>0\). On considère l’intégrale généralisée : \[ I(a) = \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{a^2 + \left(x - \frac{1}{x}\right)^2}. \] Justifier l’existence de \(...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG5

Calcul de \(I_n\) Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\). On pose \[ I_n = \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}. \] Justifier l’existence de \(I_n\). Soient \(a_1,\d...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG6

Intégrale \(\int_a^b \frac{dx}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}\) Soient \( a &lt b \) deux réels. Existence et calcul de: \[ I = \int_a^b \frac{dx}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}. \] Indication : effectuer le changemen...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG7

Fonction BĂŞta Soit \((x,y)\in\mathbb{R}^2\). On pose \[ B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt. \] Montrer que \(B(x,y)\) existe si et seulement si \(x>0\) et \(y>0\). Calculer \(B\left(...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG8

Étude d’une intégrale paramétrée Justifier que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), l’intégrale généralisée \(\displaystyle \int_x^{+\infty} e^{-t^2}\,dt\) converge. On note désormais: \[f(x)=\int_x...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG9

Fonction Gamma On pose, pour \(x\in\mathbb{R}\), \[ \Gamma(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t} t^{x-1}\,dt \] Prouver que \(\Gamma(x)\) existe si et seulement si \(x>0\). VĂ©rifier que pour tout \...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG10

Calcul de \(~\int_0^{\pi/2} \ln(\cos x)\,dx\) Soient: \[I = \displaystyle \int_0^{\pi/2} \ln(\cos x)\,dx \qquad \text{et}\qquad J = \displaystyle \int_0^{\pi/2} \ln(\sin x)\,dx\]. Montrer qu...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG11

Convergence et calcul de \(~\int_0^{+\infty} \frac{\ln t}{x^2+t^2}\,dt\) Soit \(x>0\). On pose \[ f(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\ln t}{x^2+t^2}\,dt. \] Justifier l’existence de \(f(x)\). ...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG12

Étude de convergence Montrer que \(\displaystyle I = \int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x}}\,dx\) converge. En déduire que \(J = \displaystyle \int_1^{+\infty} x^3 \sin(x^8)\,dx\) et \(K = \...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG13

Soit \(f\in\mathcal{C}^0([1,+\infty[, \mathbb{R}_+)\) décroissante et intégrable sur \([1,+\infty[\). Montrer que \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty} x f(x) = 0\). Indication : comparer \(\frac{x}{2}...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG14

Étudier l’intégrabilité sur \(]0,+\infty[\) de la fonction \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{x} \sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{ \ln\left(1+x\right)} \]...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG15

Intégrale de la partie entière Convergence et calcul de \[ \int_0^{+\infty} E(x)e^{-x}\,dx \] où \(E\) désigne la fonction partie entière....

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG16

Intégrale de \(\frac{\cos 2x - \cos 3x}{x}\) Soit \(I = \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\cos 2x - \cos 3x}{x}\,dx\). Prouver que \(I\) existe. Soient \(\varepsilon>0\) et \(A>0\). Calcul...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG17

Étude de \(~\int_0^{+\infty} \frac{\sin^3 t}{t^2}\,dt\) Montrer que: \[\displaystyle \int_0^1 \frac{\sin t - t}{t^2}\,dt\] converge. a. Montrer que pour tout \(t\in\mathbb{R}_+\), \[t - \f...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG18

Intégrale de \(~\frac{e^{it}}{1+it}\) Soit: \[I = \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{e^{it}}{1+it}\,dt \qquad \mbox{où} \qquad i^2=-1\] Justifier que \(~I~\) n’est pas absolument convergente...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG19

Limite d’une fonction intégrable Soit \(f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})\) telle que: \[ \lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell \in \mathbb{R} \qquad \text{et}\qquad \int_0^{+\infty} f(t)\,dt\...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG20

Intégrabilité et limites. Soit \(f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})\) telle que \(~f^2~\) et \(~f'^2~\) sont intégrables sur \(\mathbb{R}_+\). Prouver que \(~f f'~\) est intégrable su...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG21

Critère de comparaison Soient \(f,g,h\) trois fonctions continues par morceaux sur un intervalle \(I\) à valeurs réelles, telles que \(f\) et \(h\) soient intégrables sur \(I\) avec: \[\forall x\i...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026

Exercice IG22

Soit \(f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})\). On pose, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \[ u_n = \sum_{k=0}^{n} f(k) - \int_0^n f(t)\,dt. \] VĂ©rifier que \[ u_{n+1} - u_n = \int_n^{n+1} (t...

Intégrales Généralisés Posted by admin on Mon Jul 27 2026