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Exercices & ressources · Bac Marocain & Classes Préparatoires
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Algèbre Linéaire Déterminants Espaces vectoriels normés Groupes et algèbres Réduction des endomorphimes Suites et séries numériques Séries de fonctions

Exercice SSN 1

Soit $(a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ tel que $b^2 - 4ac Prouver que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$....

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Exercice SSN 2

Justifier que $\forall x \in \mathbb{R}^+$ : $$x - \frac{x^2}{2} \leq \ln(1+x) \leq x$$ En déduire : $$\lim_{n \to +\infty} \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{k}{n^2}\right)$$...

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Exercice SSN 3

Calculer la limite des suites de terme général : $a_n = n\left(\sqrt[n]{3} - 1\right)$ $b_n = \left(\dfrac{3^n + 7^n}{2}\right)^{\!\frac{1}{n}}$ $c_n = \dfrac{\lfloor n\sqrt{2} \rfloor}{n...

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Exercice SSN 4

DĂ©terminer un Ă©quivalent simple, quand $n$ tend vers $+\infty$, de : $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}$ $b_n = \sqrt[3]{n+1} - \sqrt[3]{n}$ $c_n = \sqrt[n]{n} - 1$ $d_n = n^2\left(\cos\d...

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Exercice SSN 5

On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $$u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \qquad \text{et} \qquad v_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + \frac{1}{n \cdot n!}$$ Montrer que ces deux suites son...

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Exercice SSN 6

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite croissante telle que : $$\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad u_{2n} - u_n \leq \frac{1}{n}$$ Prouver que la suite $(u_{2^n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge. En ...

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Exercice SSN 7

[Constante d'Euler] Justifier que $\forall x > 0$ : $$\frac{1}{1+x} \leq \ln(1+x) - \ln(x) \leq \frac{1}{x}$$ On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $$u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}...

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Exercice SSN 8

Soient $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites réelles définies par $(u_0, v_0) \in ]0, +\infty[^2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2}, \qqua...

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Exercice SSN 9

Soient $a > 0$ et $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{a^k + 1}$, $n \in \mathbb{N}$. Prouver que la suite $(S_n)$ converge. Considérer les deux suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$. ...

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Exercice SSN 10

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite convergente, à valeurs dans $\mathbb{Z}$. Montrer qu'il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq N$, $|u_{n+1} - u_n| \leq \dfrac{1}{2}$, et en dédui...

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Exercice SSN 11

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle telle que les suites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{7n})$ convergent respectivement vers $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$. En considérant la suite $...

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Exercice SSN 12

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle ou complexe telle que les suites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{n^2})$ convergent. Prouver que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge....

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Exercice SSN 13

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle non majorée. Montrer qu'il existe une suite extraite de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tendant vers $+\infty$....

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Exercice SSN 14

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère l'équation $(E_n)$ d'inconnue $x \in ]0, +\infty[$ : $$(E_n) : \quad \sum_{k=1}^{n} x^k = 1$$ Montrer que $(E_n)$ admet une unique solution, notée $x_n$. ...

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Exercice SSN 15

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite de réels strictement positifs définie par : $$u_0 = 1 \qquad \text{et} \qquad \forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = \sqrt{\frac{u_n}{e}}$$ Exprimer $u_n$ e...

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Exercice SERF 1

Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in [0, 1]$ : $$u_n(x) = n^\alpha \, x^n(1 - x)$$ Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la série de fon...

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Exercice SERF 2

On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}$ : $$f_n(x) = nx^2 e^{-x\sqrt{n}}$$ Étudier la convergence simple de la série de fonctions $\displaystyle\sum f_n$. Étudier la c...

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Exercice SERF 3

On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}^+$ : $$u_n(x) = (-1)^n \ln\!\left(1 + \frac{x}{n(1+x)}\right)$$ Prouver que la série de fonctions $\displaystyle\sum_{n \ge 1} u_n$...

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Exercice SERF 4

Soit $x \in \mathbb{R}^+$. Justifier l'existence de : $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{x+n}\right)$$ Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^+$. Soi...

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Exercice SERF 5

Soit $(\lambda_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite croissante de réels strictement positifs telle que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \lambda_n = +\infty$. On pose : $$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-...

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Exercice SERF 6

Soit $u_n(x) = \dfrac{x}{n(1+nx^2)}$, $n \in \mathbb{N}^*$, $x \in \mathbb{R}$. Prouver que la série de fonctions $\displaystyle\sum u_n$ converge normalement sur $\math...

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Exercice SERF 7

On considère, pour $x \in \mathbb{R}^+$ et $n \in \mathbb{N}^*$ : $$u_n(x) = \frac{(-1)^n}{x+n}$$ Prouver que la série de fonctions $\displaystyle\sum u_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}^...

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Exercice SERF 8

Justifier que l'on définit une application $f$ continue sur $[0, +\infty[$ en posant : $$\forall x \in \mathbb{R}^+, \quad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{n^2+1}$$ Calculer ...

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Exercice SERF 9

On rappelle que pour tout $t \in \mathbb{R}$ : $e^t = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{t^n}{n!}$. Pour tout $x > 0$, on pose : $$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!(x+n)}$$ P...

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Exercice SERF 10

Justifier que l'on définit une application $f$ sur $\mathbb{R}$ en posant : $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^2}{e^{2nx} + e^{-3nx}}$$ Prouver que $...

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Exercice SERF 11

Justifier que l'on définit une application $f$ continue sur $]0, +\infty[$ en posant : $$\forall x > 0, \quad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-x\sqrt{n}}$$ À l'aide d'une comparaison sé...

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Exercice SERF 12

VĂ©rifier que $\forall x \in \mathbb{R}$ : $$\frac{1}{1 - 2e^{ix}} = -\sum_{p=1}^{+\infty} \frac{e^{-ipx}}{2^p}$$ Soit $n \in \mathbb{Z}$. Calculer $I_n = \displaystyle\int_0^{2\pi} \fr...

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Exercice SERF 13

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on pose : $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2x}{x^2 + n^2}$$ Montrer que $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$. Soit $x > 0$. Pour tout $t \in \math...

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Exercice SERF 14

Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{x\,e^{-nx}}{\ln n}$, $x \in \mathbb{R}$. Déterminer le domaine de définition de $f$. Prouver que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^+$. ...

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Exercice SERF 15

On pose, pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\sin(2^n x)}{2^n}$$ Prouver que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\,dx...

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Exercice SERF 16

On note, pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ : $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \ln\!\left(1 + \frac{x}{n^2}\right)$$ Vérifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}^+$. Prouver que $f$ est con...

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Exercice SERF 17

Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\arctan\!\left(\frac{x}{n}\right)$, $x \in \mathbb{R}$. Déterminer l'ensemble de définition de $f$. Montrer que $f$ est de classe ...

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Exercice SERF 18

Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1 + n^2 x^2}$, $x \in \mathbb{R}$. Déterminer le domaine de définition de $f$. Montrer que $f$ est continue sur $]-\infty, 0[$ et su...

SĂ©ries de fonctions Solution Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice SERF 19

Soit $a \in ]0, 1[$. Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \sin(a^n x)$, $x \in \mathbb{R}$. VĂ©rifier que $D_f = \mathbb{R}$ et que $f$ est impaire. Prouver que $f$ est continue s...

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Exercice SERF 20

Soit $x \in ]-1, 1[$. Montrer que la série $\displaystyle\sum_{n \ge 1} \dfrac{x^n}{n}$ converge. On pose : $$S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$$ ...

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Exercice SSN 16

Prouver que la série \[ \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \] converge et calculer sa somme. ...

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Exercice SSN 17

Prouver que la série \[ \sum_{n \ge 1} \frac{1}{4n^2 - 1} \] converge et calculer sa somme. ...

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Exercice SSN 18

Justifier la convergence et calculer la somme de la série \[ \sum_{n \ge 2} \ln\left(1 - \frac{1}{n^2}\right) \] ...

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Exercice SSN 19

Prouver que la série \[ \sum_{n \ge 2} \ln\left(1 - \frac{2}{n(n+1)}\right) \] converge et calculer sa somme....

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Exercice SSN 20

Soit $ (a, b) \in ]0, +\infty[^2 $. VĂ©rifier que \[ \arctan a - \arctan b = \arctan\left(\frac{a - b}{1 + ab}\right) \] Justifier que \[ \sum_{n \ge 0} \arctan\left(\frac{1}{1 + n + n^2}\righ...

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Exercice SSN 21

Déterminer $ (a, b) \in \mathbb{R}^2 $ tel(s) que la série \[ \sum_{n \ge 1} (\ln n + a \ln(n + 1) + b \ln(n + 2)) \] converge et calculer alors sa somme. Déterminer $ (a, b) \in \mathbb{R}^2...

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Exercice SSN 22

Soit, $u_n = \left( \frac{\ln(n + 1)}{\ln n} \right)^n \quad : n\geq 2 $. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. Déterminer la nature de la série de terme général $ \frac{u_n - 1}{n} $. ...

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Exercice SSN 23

Déterminer la nature des séries de termes généraux : $ (-1)^n n^2 $ $ n \arcsin\left(\frac{1}{n}\right) $ $ \frac{1}{n} + \ln\left(1 - \frac{1}{n}\right) $ $ n \l...

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Exercice SSN 24

Déterminer la nature des séries de termes généraux : $ \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \sqrt{\sin x} \, dx $ $ \left(\ln\left(\frac{n+1}{n-1}\right)\right)^2 $ $ \frac{1}{(\ln ...

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Exercice SSN 25

Déterminer les couples $ (a, b) \in \mathbb{R}^2 $ pour lesquels la série \[ \sum_{n \ge 1} \frac{(n+1)^a - n^a}{n^b} \] converge. ...

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Exercice SSN 26

Soient $ a > 0 $ et $ \alpha \in \mathbb{R} $. Étudier la nature des séries de terme général : $ \frac{1 + a^n}{n^2} $ $ n a^{\sqrt{n}} $ $ a^n (\ln(n+1) - \ln n) $ ...

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Exercice SSN 27

Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite de réels telle que les séries $ \sum_{n \ge 0} u_{2n} $ et $ \sum_{n \ge 0} u_{2n+1} $ convergent. Montrer que la série $ \sum_{n \ge 0} u_n $ converg...

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Exercice SSN 28

Soit $ (u_n) $ une suite à termes positifs. Prouver que les séries de termes généraux $ u_n $ et $ \frac{u_n}{1 + u_n} $ sont de même nature. Prouver que les séries de termes g...

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Exercice SSN 29

Soit $ f \in \mathcal{C}^1([1, +\infty[, \mathbb{R}^{+*}) $ telle que $ \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)} = -\infty $. Calculer $ \lim_{n \to +\infty} \frac{f(n+1)}{f(n)} $. Ind...

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Exercice SSN 30

On considère la suite $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ définie par : \[u_n=\begin{cases} \frac{1}{n} \quad &\text{ si $~n~$ est une puissance entière de 2}\\\\ 0 \quad &\text{ sinon}\end{ca...

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Exercice SSN 31

Soit $k$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. Justifier que \[ \int_{k-1}^{k} \ln x \, dx \le \ln k \le \int_{k}^{k+1} \ln x \, dx \] En déduire un équivalent simple de $ \ln(n!) $ quand $n$ t...

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Exercice SSN 32

Soit: \[ u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln(n), n \in \mathbb{N}^* \] Prouver que la suite $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} $ converge. ...

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Exercice SSN 33

Soit: \[ u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2\sqrt{n}, n \in \mathbb{N}^* \] Prouver que la suite $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}^*} $ converge en utilisant le lien suite-série. ...

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Exercice SSN 34

Soient $ \sum u_n $ et $ \sum v_n $ deux séries à termes positifs convergentes. Montrer que la série $ ~~\sum \max(u_n, v_n) ~~$ converge. En déduire que $ \sum u_n^{\frac{1}{5}} v...

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Exercice SSN 35

Soit $ ~~\sum u_n ~~$, une série à termes positifs convergente. Montrer que les séries $~~ \sum u_{2n} ~~$ et $~~ \sum \sqrt{u_n u_{2n}} ~~$ convergent. ...

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Exercice SSN 36

Soient $~~(a_n)$, $~~(b_n)~~$ et $~~(c_n)~~$ trois suites réelles telles que: \[ \forall n \in \mathbb{N}, a_n \le b_n \le c_n \] On suppose que les séries $ ~~\sum_{n \ge 0} a_n~~ $ et $ ~~\s...

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Exercice SSN 37

Soient $ \sum u_n $ et $ \sum v_n $ deux séries à termes strictement positifs telles que : \[ \forall n \in \mathbb{N}, \frac{u_{n+1}}{u_n} \le \frac{v_{n+1}}{v_n} \quad (\text{ou } \forall n \in \mat...

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Exercice SSN 38

Soit $ ~\alpha > 1~ $ et soit: \[ R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^{\alpha}},\quad n \in \mathbb{N}\] DĂ©terminer un Ă©quivalent simple de $ R_n $, en l' encadrant par deux i...

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Exercice SSN 39

Soit $ f $ une application de $ \mathbb{R} $ dans $ \mathbb{R} $ contractante, c'est-Ă -dire qu'il existe $ C \in [0, 1[ $ telle que: \[ \forall (x, y) \in \mathbb{R}^2, |f(x) - f(y)| \le C|x -...

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Exercice SSN 40

Soit $ ~~\sum_{n \ge 0} u_n ~~$ une série absolument convergente, de somme $ U $. On pose : \[ v_n = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{n} 2^k u_k, n \in \mathbb{N} \] Justifier que la série $ ~~\sum_{n \g...

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Exercice SSN 41

Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite réelle telle que la série $ ~~\sum_{n \ge 0} u_n^2~~$ converge. Montrer que la série $ \sum_{n \ge 0} u_n u_{n+1} $ converge. ...

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Exercice SSN 42

Soit $ f \in \mathcal{C}^3([-1, 1], \mathbb{R}) $. et soit: \[ u_n = n \left( f\left(\frac{1}{n}\right) - f\left(-\frac{1}{n}\right) \right) - 2f'(0) : ~~n \in \mathbb{N}^* \] DĂ©terminer la na...

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Exercice SSN 43

Soit: \[ u_n = (-1)^n (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}), n \in \mathbb{N} \] La série $ \sum_{n \ge 0} u_n $ est-elle convergente ? est-elle absolument convergente? ...

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Exercice SSN 44

Étudier la nature de la série \[ \sum_{n \ge 2} \ln\left(\frac{\sqrt{n} + (-1)^n}{\sqrt{n+1}}\right) \] ...

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Exercice SSN 45

Soit $ \alpha > 0 $. Étudier la nature des séries: \[ \sum_{n \ge 2} \frac{(-1)^n}{n^{\alpha} + (-1)^n} \qquad \text{et} \qquad \sum_{n \ge 2} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^{\alpha} + (-1)^n}} \] ...

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Exercice SSN 46

Soit $ \alpha \in \mathbb{R} $. Étudier la nature de la série: \[ \sum_{n \ge 1} (-1)^n n^{\alpha} \left( \frac{1}{n} - \sin\left(\frac{1}{n}\right) \right) \] ...

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Exercice SSN 47

Étudier la nature de la série: \[ \sum_{n \ge 0} \sin(\pi \sqrt{n^2 + 1}) \] ...

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Exercice SSN 48

Soit $ \alpha > 0 $. Étudier la nature de la série: \[ \sum_{n \ge 2} \ln\left(1 + \frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\right) \] ...

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Exercice SSN 49

Étudier la nature de \[ \sum_{n \ge 1} (-1)^n \sqrt[n]{n} \sin \frac{1}{n} \] ...

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Exercice SSN 50

Étudier la nature de la série complexe \[ \sum_{n \ge 1} \left(1 - \frac{1 - i}{n}\right)^{n^2} \quad \text{où } i^2 = -1 \] ...

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Exercice SSN 51

Question 1 : Pour tout $ \alpha \in \mathbb{R} $ et tout $ \beta > 1 $, montrer que la série \[ \sum_{n \ge 2} \frac{(\ln(n))^\alpha}{n^\beta} \] est convergente. Pour cela, on compar...

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Exercice SSN 52

Déterminer la nature des séries dont le terme général suit : $ a_n = 2^{-(\ln(n))^{1/3}} $ $ b_n = (n+1)^{1/n} - n^{1/n} $ $ c_n = \tan\left(\frac{1}{n}\right) - \sin\le...

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Exercice SSN 53

Exercice SSN 53 Étudier la nature des séries dont les termes généraux suivent. Pour $ d_n $ et $ i_n $, calculer la somme. $ a_n = \frac{3^n}{n} $ $ b_n = \frac{n}{3 + \cos(...

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Exercice SSN 54

Soit $ s \in \mathbb{R} $. Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite réelle strictement positive. On fait l'hypothèse : \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 - \frac{s}{n} + \mathcal{O}\left(\frac...

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Exercice SSN 55

Pour tout $ z \in \mathbb{C} $, déterminer si les sommes suivantes existent et calculer leurs valeurs éventuelles : $ \sum_{n=1}^{+\infty} z^{2n-1} $ $ \sum_{n=0}^{+\infty}...

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Exercice SSN 56

Pour tout $ \alpha > 1 $, exprimer \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^\alpha} \quad \text{et} \quad \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(2k + 1)^\alpha} \] en fonction de $ \zeta(\alpha) $. ...

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Exercice SSN 57

On fixe $ (a, b) $ dans $ \mathbb{R}^2 $. Pour tout $ n $ dans $ \mathbb{N}^* $, on pose \[ u_n = \ln(n) + a \ln(n + 1) + b \ln(n + 2) \] Obtenir un développement asymptotique de $ u_n $ ...

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Exercice SSN 58

Montrer que pour tout $ n $ dans $ \mathbb{N} $, le nombre \[ u_n = (2 + \sqrt{3})^n + (2 - \sqrt{3})^n \] est un entier. En déduire que la série de terme général $ \sin[\pi(2 + \sqrt{3})^n] $ ...

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Exercice SSN 59

Montrer que la série \[ \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^n}{(n!)^{1/n}} \] est convergente. Est-elle absolument convergente ? ...

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Exercice SSN 60

Soit $ \alpha > 0 $. Étudier la nature de la série de terme général \[ \ln\left(1 + \frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right) \] ...

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Exercice SSN 61

Étudier la nature de la série \[ \sum_{n \ge 2} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n} \] ...

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Exercice SSN 62

On considère une fonction $ f $ définie sur $ ]0, +\infty[ $, à valeurs réelles, décroissante, convexe, de limite nulle en $ +\infty $. Le théorème des séries alternées permet alors de définir une...

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Exercice SSN 63

Étudier la nature de la série de terme général: \[ u_n = \sin(\pi \sqrt{n^2 + 2n})\] ...

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Exercice SSN 64

Montrer que $~\cos(1)~$ est irrationnel. ...

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Exercice SSN 65 (Centrale 2015)

Soit $ \sum_{n \ge 2} a_n $ une série convergente à termes strictement positifs. Pour tout $ n \ge 2 $, on pose : \[ b_n = -a_n \frac{\ln(a_n)}{\ln n} \] Par une étude de $ x \ma...

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Exercice ALG-LIN 1

Soit $ (a_1, a_2, a_3) \in \mathbb{R}^3 $. Les fonctions $ x \mapsto \sin(x + a_k) $ sont-elles linéairement indépendantes ?...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice ALG-LIN 2

Montrer que les fonctions définies sur $ ]0, +\infty[ $ par : \[ f_1 : x \mapsto x \quad f_2 : x \mapsto x^2 \quad f_3 : x \mapsto x \ln(x) \quad f_4 : x \mapsto x^2 \ln(x) \] sont linéairement indé...

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Exercice ALG-LIN 3

Soit $ E $ un espace vectoriel complexe. On prend des vecteurs $ v_1, \dots, v_n $ de $ E $. Soit $ A $ une matrice de $ \text{GL}_n(\mathbb{C}) $. On fait l'hypothèse : \[ \forall i \in [\![ 1, n ]...

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Exercice ALG-LIN 4

Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel. Soit $ f \in \mathcal{L}(E) $. Montrer les Ă©quivalences suivantes : \[ \text{Im}(f) \cap \text{Ker}(f) = \{0\} \iff \text{Ker}(f) = \text{Ker}(f^2) \] ...

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Exercice ALG-LIN 5

Soient $ f $ et $ g $ dans $ \mathcal{L}(E, F) $, oĂą $ E $ et $ F $ sont de dimension finie. DĂ©montrer l'encadrement suivant : \[ |\text{rg}(f) - \text{rg}(g)| \leqslant \text{rg}(f + g) \leqslant \t...

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Exercice ALG-LIN 6

Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie. On considère deux endomorphismes $ f $ et $ g $ de $ E $ et on fait les hypothèses suivantes : \[ f + g = \text{Id}_E \quad \text{et} \quad \text{rg...

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Exercice ALG-LIN 7

Soit $ f $ un endomorphisme d'un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel $ E $. On suppose que pour tout $ x \in E \setminus \{0_E\} $, la famille $ (x, f(x)) $ est linéairement dépendante. Montrer qu'il ex...

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Exercice ALG-LIN 8

Soient $ p $ et $ q $ deux projecteurs d'un espace vectoriel $ E $. Montrer que si $ p $ et $ q $ commutent, alors $ p \circ q $ est un projecteur, dont on exprimera le noyau et l'image en fonction de...

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Exercice ALG-LIN 9

Soient $ E, F, G $ des $ \mathbb{K} $-espaces vectoriels de dimension finie. Soient $ f \in \mathcal{L}(E, F) $ et $ g \in \mathcal{L}(F, G) $. Démontrer l'égalité : \[ \dim(\text{Im}(...

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Exercice ALG-LIN 10

On pose $ N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $. Soit $ M $ une matrice de $ \mathcal{M}_3(\mathbb{C}) $. On fait l'hypothèse $ M^2 = N $. Justifier que $ M $ ...

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Exercice ALG-LIN 11

Exercice 11 (**) Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie, donc la dimension est notée $ n $. Soit $ f $ un endomorphisme de $ E $. On suppose que $ f $ est nilpotent, ce qui signifie qu'il...

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Exercice ALG-LIN 12

Une matrice triangulaire supérieure stricte de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ est une matrice triangulaire supérieure de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ dont tous les coefficients diagonaux sont nuls. ...

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Exercice ALG-LIN 13

Soient $ E $, $ F $ et $ G $ trois $ \mathbb{K} $-espaces vectoriels de dimension finie. Soient $ u \in \mathcal{L}(E, G) $ et $ v \in \mathcal{L}(F, G) $. Montrer que l'inclusion $ \text{Im}(u) \sub...

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Exercice ALG-LIN 14

Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension $ p $. Soit $ F $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension $ n $. Soit $ E_1 $ un sous-espace vectoriel de $ E $ de dimension $ p_1 $...

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Exercice ALG-LIN 15

Montrer que les matrices: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{ et } \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] s...

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Exercice ALG-LIN 16

Montrer que la matrice $ A = (\sin(i+j))_{1 \leqslant i, j \leqslant n} $ est de rang 2....

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Exercice ALG-LIN 17

Trouver tous les couples $ (A, B) $ de matrices de $ \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) $ vérifiant les égalités $ AB = BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $....

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Exercice ALG-LIN 18

On note $ (E_{i,j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} $ la base canonique de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $. Pour tout quadruplet $ (i, j, k, \ell) $ d'indices de $ [\![ 1, n ]\!] $, montrer l'Ă©gal...

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Exercice ALG-LIN 19

On fixe $ A $ dans $ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ et on définit l'endomorphisme: \begin{align} \Phi_A: \quad \mathcal{M}_n(\Bbb R) &\longrightarrow \mathcal{M}_n(\Bbb R)\\ X &\longmapsto XA \\...

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Exercice ALG-LIN 20

On considère une matrice $ M = (m_{j,k})_{1 \leqslant j, k \leqslant n} $ de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ et on suppose que $ M $ est une matrice à diagonale dominante selon les lignes, ce qui s'écri...

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Exercice ALG-LIN 21

On fixe $ n $ dans $ \mathbb{N}^* $ et pour tout couple $ (a,b) \in \mathbb{R}^2 $, on note $ M(a,b) $ la matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ dont les coefficients diagonaux valent $ a $ et tous ...

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Exercice ALG-LIN 22

Soit $ E $ un espace vectoriel de dimension finie. Soient $ F $ et $ G $ deux sous-espaces vectoriels de $ E $ ayant mĂŞme dimension. Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel de $ E $ qui soit Ă  ...

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Exercice ALG-LIN 23

Soient $ E, F, G $ trois espaces vectoriels de dimension finie. On considère $ u \in \mathcal{L}(E, F) $ et $ v \in \mathcal{L}(F, G) $. Montrer les inégalités \[ \text{rg}(v \circ u) \leqslant \min...

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Exercice ALG-LIN 24

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On suppose que $ A $ est de rang 1. Montrer qu'il existe des vecteurs colonnes $ X $ et $ Y $ non nuls tels que $ ~A = X \cdot Y^{\text{T}} $. En ...

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Exercice ALG-LIN 25

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On note $ r $ le rang de $ A $. Montrer qu'il existe des vecteurs colonnes $~ X_1, \dots, X_r, Y_1, \dots, Y_r ~$; tels que: \[ A = \sum_{k=1}^r X_k \cdot ...

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Exercice ALG-LIN 26

Soit $ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $. On suppose que $ M $ n'est pas un multiple de $ I_n $. Montrer qu'il existe $ P \in \text{GL}_n(\mathbb{C}) $ telle que $ P^{-1}MP $ ait $ E_2 $ pour p...

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Exercice ALG-LIN 27

Soit $ (a,b,c) \in \mathbb{K}^3 $. Calculer : \[ \begin{vmatrix} a+b & b+c & c+a \\ a^2+b^2 & b^2+c^2 & c^2+a^2 \\ a^3+b^3 & b^3+c^3 & c^3+a^3 \end{vmatrix} \]...

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Exercice ALG-LIN 28

Soit $ A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ Calculer le déterminant de la matrice de coefficients $~~ a_{i,j} = \max(i, j) $....

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Exercice ALG-LIN 29

Soient $ n $ dans $ \mathbb{N}^* $ et tout $ z $ dans $ \mathbb{C}^* $, Soit $ M_n(z) $ dans $ \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ dont les coefficients diagonaux valent $ z + \frac{1}{z} $, les coefficient...

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Exercice ALG-LIN 30

Soient $ A, B, C $ dans $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. Calculer le déterminant de la matrice $ \begin{pmatrix} 0 & A \\ B & C \end{pmatrix} $....

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Exercice ALG-LIN 31

Soit $ B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $. Montrer l'égalité $ \det\begin{pmatrix} I_n & B \\ B & I_n \end{pmatrix} = \det(I_n - B^2) $....

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Exercice ALG-LIN 32

Soit $ C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On suppose que l'égalité: \[ \det(C + M) = \det(M) \] a lieu pour toute matrice $ M $ de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $ C $ est nulle. Pou...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice ALG-LIN 33

Calculer le déterminant et la trace de l'endomorphisme : \begin{align} T :\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) &\longrightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\\ M &\longmapsto M^{\text{T}} \end{align}...

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Exercice ALG-LIN 34

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. Calucler le determinant de l'endomorphisme: \begin{align} \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) &\longmapsto \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \\ M &\longmapsto AM \end{al...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice ALG-LIN 35

On fixe un entier $ n \geqslant 2 $. Soient $ A $ et $ B $ deux matrices de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. Montrer que la fonction \[ \begin{align*} f_{A,B} : \mathbb{K} &\longrighta...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice ALG-LIN 36

Soit un entier $ n \geqslant 2 $. On pose $ \omega = \exp(i2\pi/n) $. On note $ A $ la matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ de coefficients $ a_{p,q} = \omega^{(p-1)(q-1)} $. Calculer un a...

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Exercice DET 1

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ de colonnes $ C_1, \dots, C_n $. Calculer le déterminant de la matrice $ B $ de colonnes: \[ C_1 - C_2, \dots, C_{n-1} - C_n, C_n - C_1 .\]...

DĂ©terminants Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice DET 2

Soit $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \quad (n \ge 2) $, de colonnes, $~ A_1, \dots, A_n $. et Soit $~ B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) ~$ de colonnes, $~ B_1, \dots, B_n $ déterminées par: \[ B_...

DĂ©terminants Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice DET 3

Soient $ A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ telles que $ AB = BA $. Montrer que $ \det(A^2 + B^2) \ge 0 $....

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Exercice DET 4

Soient $ n \in \mathbb{N}^* $, $~E ~$ un $~ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension $ n $, $ f \in \mathcal{L}(E) $ et $ \mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n) $ une base de $ E $. Montrer que pour tout...

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Exercice DET 5

Soient $ A \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R}) $ antisymétrique et $ J \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R}) $ la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. Etablir : \[ \forall x \in \mathbb{R}, \...

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Exercice DET 6

Calculer le déterminant : \[ \begin{vmatrix} a_1+x & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_2+x & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n+x \end{vmatrix} \] pour $ ~~x, ...

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Exercice DET 7

Soient $ x_1, \dots, x_n \in \mathbb{C} $. Calculer le déterminant de Vandermonde : \[ V_n(x_1, \dots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n...

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Exercice DET 8

Calculer pour $ a_1, \dots, a_n~$ dans $~\mathbb{K}, ~$ le déterminant suivant : \[ D_k = \begin{vmatrix} 1 & a_1 & \cdots & a_1^{k-1} & a_1^{k+1} & \cdots & a_1^n \\ 1 & a_2 & \cdots & a_2^{k-1} & ...

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Exercice DET 9

Calculer : \[ D_n = \begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-2} & a_1^n \\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-2} & a_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & a_n & a_...

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Exercice DET 10

Soient $~\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{C} ~$ distincts et $~ P(X) = \prod_{i=1}^n (X - \lambda_i) $. Calculer : \[ \Delta(X) = \begin{vmatrix} \frac{P(X)}{X - \lambda_1} & \frac{P(X)}{X -...

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Exercice DET 11

On pose $ P_n(X) = X^n - X + 1 $. Montrer que $ P_n $ admet $ n $ racines distinctes $ z_1, \dots, z_n $ dans $ \mathbb{C} $. Calculer le déterminant de la matrice : \[ \begin{pmatrix...

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Exercice DET 12

Soient $ a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n \in \mathbb{C} $. Calculer le déterminant de la matrice de coefficient : \[ a_{i,j} = \begin{cases} a_i + b_i & \text{si } i = j \\ b_j & \text{sinon} \end...

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Exercice DET 13

Pour $ a \in \mathbb{K}^* $, calculer[cite: 36]: \[ D_n = \begin{vmatrix} 2a & a & & (0) \\ a & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & a \\ (0) & & a & 2a \end{vmatrix} \] ...

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Exercice DET 14

Soient $ a, b \in \mathbb{C}^* $ distincts. Calculer: \[ D_n = \begin{vmatrix} a+b & ab & & (0) \\ 1 & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & ab \\ (0) & & 1 & a+b \end{vmatrix} \]...

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Exercice DET 15

Soient $ x \in \mathbb{C} $ et $ n \in \mathbb{N}^* $. Calculer: \[ D_n = \begin{vmatrix} 1+x^2 & x & & (0) \\ x & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & x \\ (0) & & x & 1+x^2 \end{vmatrix}_{[n]} ...

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Exercice DET 16

Soient $ \theta \in \mathbb{R} $ et $ n \in \mathbb{N}^* $. Calculer: \[ D_n = \begin{vmatrix} 2\cos\theta & 1 & & (0) \\ 1 & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & 1 \\ (0) & & 1 & 2\cos\theta \en...

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Exercice DET 17

Calculer: \[ D_n = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ 2 & 1 & 0 & \ddots & 2 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ n & \cdots & 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}_{[n...

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Exercice DET 18

Soient $ A, B, C, D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On suppose que $ D $ est inversible et que $ C $ et $ D $ commutent. Établir : \[ \det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det(AD - BC)...

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Exercice DET 19

Soient $ A, B, C, D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ avec $ AC = CA $. Montrer que : \[ \det\begin{pmatrix} A & C \\ B & D \end{pmatrix} = \det(DA - BC) \]...

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Exercice DET 20

Soient $ A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $. Montrer que: \[ \begin{vmatrix} A & B \\ B & A \end{vmatrix} = \det(A+B)\det(A-B) .\] Justifier que: \[ \begin{vmatrix} A & -B \\ B & A \...

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Exercice DET 21

Exercice 21 Soient $ B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ et : \[ A = \begin{pmatrix} I_n & B \\ B & I_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R}) \] A quelle condition la matrice $ A $ est...

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Exercice DET 22

Montrer que le polynĂ´me $ P(x) $ suivant est divisible par $ (x-1)^3 $: \[ P(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \end{vmatrix} \]...

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Exercice DET 23

Soit la matrice $ A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $. On définit la matrice $ B = (b_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ en posant : \[ b_{i,j} = (-1)^{i+j} a_{i,j} \] Comparer $ \det(...

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Exercice RedEndo 1

Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de l'endomophisme $f$ de $\mathbb{R}[X]$ défini par : \[ f(P) = (X+1)(X-3)P' - XP \] Indication : On pourra examiner les termes de plus haut degr...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 2

Exercice 2 Déterminer les valeurs propres et des bases des sous-espaces propres des endomorphismes canoniquement associés aux matrices suivantes : \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatri...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 3

Soit: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} .\] DĂ©terminer les valeurs propres de $A$ et une base de chaque sous-espace propre. A est-elle diagonalisable? J...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 4

Exercice 4 Que peut-on dire d'une matrice diagonalisable admettant 1 pour seule valeur propre ? Que peut-on dire d'une matrice diagonalisable admettant une unique valeur propre ? La...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 5

Soit $ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $ Chercher les valeurs propres et vecteurs propres de $A$. $A$ est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une matrice de passage dia...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 6

Soit: \[ A = \begin{pmatrix} -4 & -6 & 0 \\ 3 & 5 & 0 \\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix} \] DĂ©terminer les valeurs propres de $A$ Diagonaliser $A$ ...

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Exercice RedEndo 7

On donne: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}\qquad ;\qquad B = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} \end{pmatrix...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 8

On désinge par $\Delta$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ défini par: \[\Delta(P) = P(X) - P(X-1).\] Décrire le noyau et l'image de $\Delta$. Donner le spectre de $\Delta$ et préciser si c'...

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Exercice RedEndo 9

Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ défini par : \[ f\left(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \] Montrer que $...

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Exercice RedEndo 10

Soit $ n \in \mathbb{N}^* $. On dit qu'une matrice $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) $ est nilpotente s'il existe un entier $ p \in \mathbb{N}^* $ tel que $ A^p = 0 $. Montrer que les propriétés suiv...

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Exercice RedEndo 11

Soit $ E = \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) $ et soit u l'endomorphisme de $E$ définit par: \begin{align} u: E &\longrightarrow E\\ A&\longmapsto A^{T} \end{align} Montrer que $u$ est diagonalisable...

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Exercice RedEndo 12

Soit : \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \qquad ;\qquad B = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ -3 & 7 \end{pmatrix} .\] Montrer que $ A $ et $ B $ sont semblables....

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Exercice RedEndo 13

Soient: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & -2 & 2 \\ -3 & -3 & 3 \end{pmatrix}~ ; ~B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}~;~C= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1...

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Exercice RedEndo 14

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Calculer $ A^n. $ Diagonaliser, $ A $. En déduire $ A^n $ où $ n \in \mathbb{N}$ ...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 15

Rechercher les valeurs propres puis diagonaliser $ A$: \[A = \begin{pmatrix} 5 & 3 & -3 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} .\] Rechercher les valeurs propres puis diagonaliser, les m...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 16

Soit: $~ u_0 = 1 ~;~ v_0 = 1~ ;~ w_0 = -1 $. Pour tout $ n \in \mathbb{N} $, on définit : \[ \begin{cases} u_{n+1} = 2u_n + 3v_n - 3w_n \\ v_{n+1} = -u_n + w_n \\ w_{n+1} = -u_n + v_n \end{cases}...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 17

Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel. Soit $ f $ un endomorphisme de $ E $ vérifiant : \[ f^3 - f^2 + f - \text{id}_E = 0 \] Que dire des valeurs propres de $ f $ ? On distinguera le...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 18

Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension finie et soit $ f \in \mathcal{L}(E).$ Et soit, $~ P = \sum_{k=0}^n a_k X^k,~$ un élément de $ \mathbb{K}[X]. $ On note $ P(f) $ l'endom...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 19

Soit $ x \in \mathbb{R} $. Soit $ A $ la matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $ définie par: \[ a_{i,i} = x \quad \text{et} \quad a_{i,j} = 1 \quad \text{ si }\quad i \ne j \] $ A $ est-elle d...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 20

Soit: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 36 \end{pmatrix} \] Diagonaliser $ A $ Trouver les matrices $ M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) $ telles que: \[ MA = AM \] ...

Algèbre Linéaire Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 20

Soit: \[A = \begin{pmatrix}11&-5&5\\ -5&3&-3\\ 5&-3&3\end{pmatrix}\] Trouver toutes les matrices $~B~$ de taille 3 telles que $~B^{2}=A$ Indication : diagonaliser $A$ ...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 21

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 36 \end{pmatrix} \] Diagonaliser $ A $ puis trouver les matrices $ M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) $ telles que: \[ MA = AM \]...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 22

Dans l'ensemble $\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$, on considère les matrices $A$ et $M$ vérifiant : \[ A^{3}=-A \qquad ; \qquad \text{rg}(A)=2 \qquad \text{et} \qquad M=\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&-...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 23

Soient, $a$ un réel donné, $E=\mathbb{R}_{n}[X]~$ et $~f~$ l'application définie sur $~E~$ par : \[ f(P)=(X-a)(P^{\prime}+P^{\prime}(a))-2(P-P(a)) \] Vérifier que $f$ est bien un endomorphisme ...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 24

Soit $n$ un entier naturel non nul et soit $~A~$ la matrice d'ordre $n$ définie par: \begin{cases} a_{i,1}&=1 \\ a_{n,j}&=1 \text{ si } \\ a_{i,j}&=0 \quad \text{ si } j\ne 1 ~\text{ et }~ i\ne n \...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 25

Pour tout triplet $(a,b,c)\in\mathbb{C}^{3}$, on considère la matrice : \[ M(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{pmatrix} \] Montrer que les matrices $M(a,b,c)$ commutent entre ell...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 26

Trigonaliser les matrices suivantes : \[ A=\begin{pmatrix}5&-4&-3\\ 2&-1&-1\\ 1&-1&0\end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix}7&-6&-2\\ 2&0&-1\\ 2&-3&2\end{pmatrix} \quad C=\begin{pmatrix}1&1&-2&0\\ 2&1&0...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 27

Soit $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par : \begin{cases} u_{0}&=1 \quad ; \quad u_{1}=-1 \quad ; \quad u_{2}=0 \\\\ u_{n+3}&=7u_{n+1}-6u_{n} \end{cases} Exprimer $u_{n}$ en fonction ...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 28

Soient : \[ A=\begin{pmatrix}2&2&1\\ 1&3&1\\ 1&2&2\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B=\begin{pmatrix}2&1&-1\\ 0&2&-1\\ -3&-2&3\end{pmatrix} \] Montrer que $A$ et $B$ ont les mĂŞmes valeurs prop...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 29

Soit $u$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$ tel que: \begin{cases} u^{3}&=0 \\ u^{2}&\ne 0 \end{cases} Montrer qu'il existe une base dans laquelle $u$ a pour matrice : \[ \begin{pma...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 30

Diagonaliser les matrices suivantes : $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad C = \beg...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 31

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\] Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice $A$. Montrer que $A$ est diagonalisable. Calculer $A^k$ pou...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 32

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 1 & j & j^2 \\ j & j^2 & 1 \\ j^2 & 1 & j \end{pmatrix}.\] Étudier la diagonalisabilité de $A$. déterminer son polynôme caractéristique, calculer $\exp(A)$. Propos...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 33

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & -1 & -2 \end{pmatrix}\] Calculer le polynôme caractéristique de $A$. Trigonaliser la matrice $A$. ...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 34

Soit: \[A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\] Calculer le polynôme caractéristique de $A$. Trigonaliser la matrice $A$. ...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 35

Soit $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$: \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & & (0) \\ \vdots & & \ddots & \\ 1 & (0) & & 1 \end{pmatrix} \] DĂ©terminer les valeurs propres de la matrice ...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 36

Soit, $A=(a_{ij})$, la matrice carré d'ordre $n$ définie par : \begin{cases} a_{ij} = 1 \text{ si } |i - j| = 1 \\ \\a_{ij} = 0 ~\text{ sinon} \end{cases} Diagonaliser $A$...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 37

Soit $J\in \mathcal{M}_{p,q}(\Bbb R)$ avec: \[J=\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ \cdot & \cdot & \cdots \cdots & \cdot\\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot &\\ \cdot & \cdot & \cdots & \cd...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 38

Soit: \begin{align} \Phi : \mathbb{R}[X] &\longrightarrow \mathbb{R}[X] \\ P &\longmapsto (1 - X^2)P' + nXP \end{align} Montrer que $\mathbb{R}_n[X]$ est stable par $\Phi$. (On note $\Phi_...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 39

Dans $E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$, on définit l'application : \begin{align} T: E &\longrightarrow E\\ f & \longmapsto T(f) :~\begin{cases} T(f)(0)&= f(0) \\ T(f)(x) &= \frac{1}{x} \int\l...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 40

Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $AB$ et $BA$ ont les mĂŞmes valeurs propres. Montrer que si l'une au moins des matrices $A,~B$ est inversible, alors $AB$ et $BA$ on...

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Exercice RedEndo 41

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{C}$-espace vectoriel $E$ de dimension $n$. On suppose que $f$ possède une unique valeur propre $\lambda$. A quelle condition l'endomorphisme est-il dia...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 42

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$. On suppose qu'il existe $x_0 \in E$ et $p \in \mathbb{N}$ tels que $(x_0, f(x_0), \dots, f^{p-1}(x_0))$ soit une famille...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 43

Soit $f$ et $g$ deux endomorphismes diagonalisables qui commutent. Montrer qu'il existe une base commune de diagonalisation (on dit que $f$ et $g$ sont simultanément diagonalisables)....

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 44

Montrer que pour tout $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on: \[\det(\exp(A)) = \exp(\mathrm{tr}(A))\] indication : utiliser la trigonalisation...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 45

Déterminer les valeurs propres de la matrice $A$ définie par: \[A= \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & \cdots & 1 & 1 \end{pmatrix} \in \math...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 46

Soient $n \ge 3$, et: $$ A = \begin{pmatrix} 0 & & (0) & 1 \\ 1 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 1 \\ 1 & (0) & & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $$ Soit $f$ l'endomorphisme ...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice RedEndo 47

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{C}$-espace vectoriel $E$ de dimension $n$. On suppose que $f$ possède une unique valeur propre $\lambda$. A quelle condition l'endomorphisme est-il dia...

RĂ©duction des endomorphimes Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 1

Soit $G$ un groupe. On appelle centre de $G$ l'ensemble: \[Z(G) = \{g \in G | \forall h \in G, gh = hg\}\] Montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe de $G$....

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 2

Soit $G$ un groupe tel que: \[\forall x\in G: x^2=e\] Montrer que G est commutatif....

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Exercice AlgGrpe 3

Donner un exemple de groupe infini dont tous les éléments sont d'ordre fini....

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Exercice AlgGrpe 4

Montrer que l'ensemble des bijections continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est un sous-groupe de $\text{Bij}(\mathbb{R})$....

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Exercice AlgGrpe 5

Les bijections dérivables de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ forment-elles un sous-groupe de $\text{Bij}(\mathbb{R})$ ?...

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Exercice AlgGrpe 6

Quels sont les sous-groupes finis de $\mathbb{C}^*$ ?...

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Exercice AlgGrpe 7

Soit $G$ un groupe et $A$ une partie finie non vide de $G$ stable par produit. Montrer que $A$ est un sous-groupe de $G$. (On pourra considérer la suite $(g^n)_{n \in \mathbb{N}}$.)...

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Exercice AlgGrpe 8

Soit $A$ une partie du groupe $G$ et soit $~~\varphi : G \to G'~$ un morphisme de groupes. Montrer que $\langle \varphi(A) \rangle = \varphi(\langle A \rangle)$....

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Exercice AlgGrpe 9

Caractériser les groupes finis d'ordre premier....

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Exercice AlgGrpe 10

Soit $s \in \mathcal{S}_n$ un cycle. À quelle condition sur $d \in \mathbb{Z}$, $s^d$ est-il un cycle ?...

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Exercice AlgGrpe 11

Caractériser les groupes $G$ dont les seuls sous-groupes sont $G$ et $\{e\}$....

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Exercice AlgGrpe 12

Le groupe $~\mathbb{Q}~$ admet-il une partie génératrice finie ?...

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Exercice AlgGrpe 13

Soient $(G, *)$ un groupe, $H$ un ensemble et $~f : G \to H~$ une bijection. Montrer que la loi $\bullet$ sur $H$ définie par: \[h_1 \bullet h_2 = f\left(f^{-1}(h_1) * f^{-1}(h_2)\right)\] est u...

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Exercice AlgGrpe 14

L'ensemble $\mathbb{D}$ des nombres décimaux est-il un sous-anneau de $\mathbb{Q}$ ? Un sous-corps de $\mathbb{Q}$ ?...

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Exercice AlgGrpe 15

Soit $A$ un anneau commutatif intègre et non nul. Montrer que si $A$ est fini, alors $~A~$ est un corps. Montrer que si $~A~$ n'a qu'un nombre fini d'idéaux, alors $~A~$ est un corps. In...

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Exercice AlgGrpe 16

Soit $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal de $A$. On appelle radical de $~I~$ le sous-ensemble de $~A~$ défini par: \[ \sqrt{I} = \{x \in A | \exists n \in \mathbb{N}, x^n \in I\} \] Mo...

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Exercice AlgGrpe 17

Quels sont les idéaux de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ?...

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Exercice AlgGrpe 18

Soit $E$ un $\mathbb{F}_3$-espace vectoriel de dimension 5. Combien y a-t-il de couples $(u, v) \in E^2$ libres ? Combien y a-t-il de bases d'un plan fixé de $E$ ? Combien l'espace vectoriel $\mathbb{...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 19

Déterminer les polynômes irréductibles de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]$ de degré $\leqslant 5$....

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Exercice AlgGrpe 20

Soit $S_p = \sum_{k=1}^n a_k^p$. Exprimer $S_2$ et $S_3$ en fonction des fonctions symétriques élémentaires en les $a_k$....

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Exercice AlgGrpe 21

Sous la dynastie des Tang, au 7e siècle en Chine, l'empereur voulut connaitre le nombre exact de ses soldats. Bien qu'il en eût un nombre presque innombrable, il savait qu'il en avait moins d'un milli...

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Exercice AlgGrpe 22

Soit $G$ un groupe et $g$ un élément de $G$. Et Soit: \begin{align} \varphi_g: G&\longrightarrow G \\ h &\longmapsto ghg^{-1} \end{align} Montrer que $\varphi_g$ est un automorphisme de...

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Exercice AlgGrpe 23

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\tau \in \mathcal{S}_n$. Déterminer les permutations qui commutent avec $~\tau~$ (c'est le centralisateur de $\tau$ dans $\mathcal{S}_n$). En déduire le centre de $...

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Exercice AlgGrpe 24

Ă€ quelle condition les groupes $\mathbb{Z}^n$ et $\mathbb{Z}^p$ sont-ils isomorphes ?...

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Exercice AlgGrpe 25

Théorème de Cayley : Soit $G$ un groupe fini. Pour tout $g \in G$, on définit, l'application: \begin{align} L_g : G &\longrightarrow G\\ h &\longmapsto gh\end{align} On définit également l'ap...

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Exercice AlgGrpe 26

Groupe dérivé : Soit $G$ et $H$ deux groupes et $\varphi : G \to H$ un morphisme de groupes. Pour tous $a, b \in G$, on note $[a, b] = aba^{-1}b^{-1}$, appelé commutateur de $a$ et $b$. Soit $\mathcal...

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Exercice AlgGrpe 27

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On munit $\mathcal{S}_n$ de la probabilité uniforme et on note $p_n$ la probabilité qu'une permutation ait tous ses cycles de longueur $\leqslant n/2$ dans la décomposition ...

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Exercice AlgGrpe 28

Montrer que $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}^2$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{Q}^*_+$ ne sont pas isomorphes en tant que groupes....

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Exercice AlgGrpe 29

Autres générateurs de $\mathcal{S}_n$ : Soit $n \geqslant 2$ et $\tau_i = (i\ i+1) \in \mathcal{S}_n$ avec $1 \leqslant i \leqslant n-1$. Montrer que toute permutation $s \in \mathcal{S}_n$ s'écr...

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Exercice AlgGrpe 30

Soit $n \geqslant 2$. DĂ©terminer tous les morphismes de groupes $\varphi : \mathcal{S}_n \to \mathbb{Z}$. DĂ©terminer tous les morphismes de groupes $\varphi : \mathcal{S}_n \to \mathbb{C}^*$....

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Exercice AlgGrpe 31

Le $n$-cycle $(1\ 2\ \cdots\ n)$ admet-il une racine carrée dans $\mathcal{S}_n$ ?...

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Exercice AlgGrpe 32

On munit $E = \mathbb{R}^n$ de son produit scalaire usuel et $G$ un sous-groupe de $GL_n(\mathbb{R})$. On suppose qu'il existe $k \in ]0, 2[$ tel que toute matrice $M$ de $G$ vérifie $|||M - I_n||| ...

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Exercice AlgGrpe 33

Soit $G$ un groupe fini de cardinal $n$. Montrer qu'il existe une partie génératrice $S$ de $G$ telle que $\text{Card}(S) \leqslant \log_2(n)$....

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Exercice AlgGrpe 34

Homographies : Soit $\mathbb{H} = \{z \in \mathbb{C} \mid \text{Im}(z) > 0\}$. Pour tout $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbb{R})$, on considère l'application $\varphi_M$...

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Exercice AlgGrpe 35

Quels sont les deux derniers chiffres décimaux de $7^{7^{7^{7^{7^{7^7}}}}}$ ?...

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Exercice AlgGrpe 36

Théorème de Wilson : Montrer qu'un entier $p \geqslant 2$ est premier si et seulement si $(p - 1)! + 1 \equiv 0 \pmod p$....

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Exercice AlgGrpe 37

Soient $m, n \in \mathbb{N}$. Montrer que $mn(m^{60} - n^{60})$ est divisible par $56786730$....

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Exercice AlgGrpe 38

Nombres de Fermat, de Mersenne et d'Euclide : Soit $2^n - 1$ un nombre premier. Montrer que $n$ est premier. (Les nombres premiers de cette forme sont appelés nombres de Mersenne. Quelle est la p...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 39

Critère de primalité de Fermat : Montrer que $n$ est composé si et seulement s'il existe un entier $a$ tel que $1 témoin de Fermat. Il fournit un certificat de non-primalité pour $n$.)...

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Exercice AlgGrpe 40

Une fonction $f : \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$ est dite multiplicative si pour tout couple $(m, n)$ d'entiers premiers entre eux, $f(mn) = f(m)f(n)$. Montrer que $f$ est multiplicative si et seul...

Groupes et algèbres Solution Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 41

Nombres parfaits pairs : Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note $S(n)$ la somme des diviseurs dans $\mathbb{N}^*$ de $n$. Un nombre est parfait si $S(n) = 2n$. Montrer que $S$ est multiplicative, i.e...

Groupes et algèbres Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 42

On note $\mathcal{D}(n)$ l'ensemble des diviseurs (positifs) de l'entier $n$. Soient $a, b \in \mathbb{N}^*$ premiers entre eux et $n = ab$. Montrer que l'application $\mathcal{D}(a) \times \math...

Groupes et algèbres Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 43

Soient $a, b \in \mathbb{Z}$. À quelle condition nécessaire et suffisante portant sur $a$ et $b$ a-t-on $\mathbb{Z}/a\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/b\mathbb{Z}$ cyclique ? Déterminer tous les m...

Groupes et algèbres Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 44

Soit $P \in \mathbb{R}[X]$. Montrer l'Ă©quivalence entre : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $P(x) \geqslant 0$ ; Il existe $A, B \in \mathbb{R}[X]$ tels que $P = A^2 + B^2$. ...

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Exercice AlgGrpe 45

Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ scindé. Montrer que $P'$ est scindé. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ scindé. Montrer que pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, $\alpha P + P'$ est scindé sur $\mathbb{R}$. ...

Groupes et algèbres Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 46

Montrer que les automorphismes de la $\mathbb{K}$-algèbre $\mathbb{K}[X]$ sont exactement les applications $P \mapsto P(aX + b)$ où $(a, b) \in \mathbb{K}^* \times \mathbb{K}$. Montrer que le...

Groupes et algèbres Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 47

Comment déterminer si un polynôme de $\mathbb{C}[X]$ admet une racine multiple ? (On ne sait pas déterminer les racines en général.) Soit $P \in \mathbb{Q}[X]$ irréductible. Montrer que $P$ n...

Groupes et algèbres Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 48

Soient $P, Q \in \mathbb{R}[X]$. On suppose que $P$ et $Q$ sont scindés à racines simples et que leurs racines sont entrelacées, i.e. entre deux racines de l'un, il y a une racine de l'autre. Mon...

Groupes et algèbres Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 49

Soit $P \in \mathbb{C}[X]$. Étudier l'injectivité et la surjectivité de $P : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$. Soit $F \in \mathbb{C}(X)$ non constant. Montrer que $F(\mathbb{C})$ est soit $\mathbb...

Groupes et algèbres Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 50

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $E = \mathbb{R}_n[X]$. Soient $h_0, h_1, \dots, h_n$ des réels distincts. Montrer que la famille $((X+h_i)^n)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ est une base de $E$. On not...

Groupes et algèbres Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 51

Montrer l'existence et l'unicité d'un $P_n \in \mathbb{R}[X]$ tel que pour tout $t \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$ : $$P_n(\cot^2 t) = \frac{\sin((2n + 1)t)}{\sin^{2n+1} t}.$$ Détermin...

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Exercice AlgGrpe 52

Soit $E = \mathbb{R}_n[X]$ et $(P \mid Q) = \int_0^1 P(t)Q(t)\,dt$. Montrer que $E$ muni de $(\cdot \mid \cdot)$ est un espace euclidien. Soit $K = \mathbb{R}_{n-1}[X]^\perp$ et $P \in K \set...

Groupes et algèbres Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 53

Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. On rappelle que $\mathbb{C}[M]$ désigne l'algèbre des polynômes en $M$. Caractériser les inversibles de l'anneau $\mathbb{C}[M]$. Caractériser les divi...

Groupes et algèbres Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 54

Montrer que les algèbres $\mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ ne sont pas isomorphes....

Groupes et algèbres Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 55

Soit $A$ un anneau commutatif. Soit $I$ un idéal de $A$ et $\mathcal{R}$ la relation sur $A$ définie par $x \mathcal{R} y$ si et seulement si $x - y \in I$. Montrer que $\mathcal{R}$ est une rela...

Groupes et algèbres Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 56

Soit $K$ un corps fini commutatif. Montrer que $\text{Card}(K)$ est de la forme $p^n$ oĂą $p$ est premier et $n \in \mathbb{N}^*$. (Indication : montrer que $K$ est un espace vectoriel sur son sous-cor...

Groupes et algèbres Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 57

Une algèbre de Boole $A$ est un anneau tel que $x^2 = x$ pour tout $x \in A$. Montrer que $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ est une algèbre de Boole. Montrer que tout élément est son propre opposé...

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Exercice AlgGrpe 58

Existe-t-il un sous-corps $\mathbb{K}$ de $\mathbb{R}$ tel que $\mathbb{R}$ soit un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension 2 ?...

Groupes et algèbres Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 59

Montrer que $\alpha \in \mathbb{C}$ est algébrique si et seulement si $\mathbb{Q}[\alpha]$ est une $\mathbb{Q}$-algèbre de dimension finie. Montrer que l'ensemble $\overline{\mathbb{Q}}$ des nombres a...

Groupes et algèbres Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 60

Soit $H$ une partie finie non-vide de $GL(n, \mathbb{R})$ stable par multiplication. Soit $M \in H$. Montrer que la suite $k \mapsto M^k$ n'est pas injective. En déduire que $H$ est un sous-group...

Groupes et algèbres Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice AlgGrpe 61

Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ Ă  coefficients entiers, avec $[M]_{i,i}$ impair pour tout $i$ et $[M]_{i,j}$ pair pour tous $i \neq j$. Montrer que $M$ est inversible....

Groupes et algèbres Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice EVN1

Exercice EVN1 : Inégalité dans un espace vectoriel normé Soient $ (E, \| \cdot \|) $ un evn et $ (a,b,c,d) \in E^4 $. Montrer que: \[\|a-b\| + \|c-d\| \le \|a-c\| + \|b-d\| + \|a-d\| + \|b-c\| \]...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice EVN2

Norme sur un espace de fonctions Soit $ E = \mathcal{C}^{1}([0,1],\mathbb{R}) $. On pose, pour tout $ f \in E $ Prouver que $ N $ est une norme sur $ E $....

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice EVN3

Norme sur l'espace des polynĂ´mes On pose, pour tout $ P \in \mathbb{R}_{n}[X] $ : \[ N(P) = \left( \sum_{k=0}^{n} \left(P^{(k)}(1)\right)^{2} \right)^{\frac{1}{2}} \] Prouver que $ N $ est une norm...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice EVN4

Norme et dérivées Soit $ E = \left\{ f \in \mathcal{C}^{2}([0,1],\mathbb{R}) \mid f(0) = f'(0) = 0 \right\} $. Vérifier que $ E $ est un $ \mathbb{R} $-espace vectoriel. On note, pour $ ...

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Exercice EVN5

Norme sur l'espace des matrices Si $ A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $, on pose : \[ \|A\| = \max_{i \in \{1,\dots,n\}} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}| \] VĂ©rifier que $ \| \cdot \| $ est ...

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Exercice EVN6

Inexistence de norme commutative Soit $ n $ un entier supérieur ou égal à 2. Montrer qu'il n'existe pas de norme $ N $ sur $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ telle que : \[ \forall(A,B) \in \mathcal{M...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice EVN7

Comparaison de normes intégrales Soit $ E = \mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) $. Pour $ f \in E $, on note : \[ N(f) = \int_{0}^{1} t|f(t)|\,dt \] et on rappelle que : \[ \|f\|_{1} = \int_{0}^{1} ...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice EVN8

Normes sur un espace de fonctions de classe C² Si $ u \in \mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) $, on pose : $ \|u\|_{\infty} = \max_{x \in [0,1]} |u(x)| $. On rappelle que $ \|\cdot\|_{\infty} $ est une...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice EVN9

Normes sur l'espace des polynĂ´mes Soit $ E = \mathbb{R}[X] $. Pour tout $ P = \sum_{k=0}^{n} a_{k}X^{k} $, on pose : \[ N_{1}(P) = \sum_{k=0}^{n} |a_{k}| \] et \[ N_{2}(P) = \max_{t \in [0,1]} |P(...

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Exercice EVN10

Limite de puissances de matrices Soit $ L \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $. Prouver qu'il existe $ A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ telle que : \[ \lim_{p \rightarrow +\infty} A^{p} = L \] si e...

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Exercice EVN11

Convergence de puissances de matrices Soit $ A \in \mathcal{A}_{n}(\mathbb{R}) $ telle que la suite $ (A^{p})_{p \in \mathbb{N}} $ converge vers $ L \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $. Prouver que $...

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Exercice EVN12

Égalité de normes Soient $ E $ un evn et $ N_{1} $ et $ N_{2} $ deux normes sur $ E $. Soient $ a \in E $ et $ r > 0 $ tels que les deux boules fermées de centre $ a $ et de rayon $ r $ pour $ N_{1}...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice EVN13

Partie fermée Montrer de deux façons différentes que $ \mathbb{Z} $ est une partie fermée de $ \mathbb{R} $....

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Exercice EVN14

Ouverts et fermés usuels Montrer que $ A = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^{2} \mid \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1 \right\} $ est un fermé de $ \mathbb{R}^{2} $, que $ B = \left\{ (x,y) \in \math...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice EVN15

Parties fermées dans un espace de fonctions On munit $ E = \mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) $ de la norme infinie. Montrer que $ A = \{ f \in E \mid f(0) = 1 \} $ est une partie fermée de $ E...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice EVN16

Ouverts selon les normes Soit $ E = \mathcal{C}^{0}([0,1],\mathbb{R}) $ et $ A = \{ f \in E \mid f(0) > 0 \} $. Montrer que $ A $ est un ouvert de l'evn $ (E, \|\cdot\|_{\infty}) $. Pour ...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice EVN17

Topologie des sous-espaces de matrices L'ensemble $ \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R}) $ des matrices symétriques de $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ est-il une partie fermée ? Une partie bornée de $ \mathca...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice EVN18

Combinaisons convexes Soient $ E $ un espace vectoriel et $ A $ une partie convexe de $ E $. Soit $ (u_{1},u_{2},u_{3}) \in A^{3} $. Soit $ (t_{1},t_{2},t_{3}) \in (\mathbb{R}^{+})^{3} $ tel qu...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice EVN19

Adhérence et intérieur d'un convexe Soient $ E $ un evn et $ A $ une partie convexe de $ E $. Montrer que $ \mathring{A} $ et $ \overline{A} $ sont des parties convexes de $ E $....

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice EVN20

Norme sur un espace de fonctions continues La fonction : \[ f \mapsto \sup_{x \in [0,1] \cap \mathbb{Q}} |f(x)| \] est-elle une norme sur $ \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}) $ ?...

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice EVN21

Existence de normes Montrer que tout $ \mathbb{K} $-espace vectoriel admettant une base, même infinie dénombrable, admet des normes....

Espaces vectoriels normés Posted by admin on Fri Jun 12 2026

Exercice EVN22

Continuité d'applications matricielles Les fonctions suivantes sont-elles continues sur $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ ? \[ A \mapsto A^{2}, \quad A \mapsto \det(A), \quad A \mapsto \mathrm{rg}(A),...

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