Soit $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal de $A$. On appelle radical de $~I~$ le sous-ensemble de $~A~$ défini par: \[ \sqrt{I} = \{x \in A | \exists n \in \mathbb{N}, x^n \in I\} \]
  1. Montrer que $\sqrt{I}$ est un idéal de $A$.
  2. DĂ©terminer $\sqrt{\sqrt{I}}$.
  3. Montrer que si $J$ est aussi un idéal de $A$, alors $\sqrt{I \cap J} = \sqrt{I} \cap \sqrt{J}$ et $\sqrt{I + J} \supset \sqrt{I} + \sqrt{J}$.
  4. Si $A = \mathbb{Z}$, $I = 720\mathbb{Z}$, déterminer $\sqrt{I}$.