Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}\arctan\!\left(\frac{x}{n}\right)$, $x \in \mathbb{R}$.
  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
  2. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur son ensemble de définition.