Groupe dérivé : Soit $G$ et $H$ deux groupes et $\varphi : G \to H$ un morphisme de groupes. Pour tous $a, b \in G$, on note $[a, b] = aba^{-1}b^{-1}$, appelé commutateur de $a$ et $b$. Soit $\mathcal{D}(G)$ l'ensemble des produits de commutateurs d'éléments de $G$.
  1. Montrer que $\mathcal{D}(G)$ est un sous-groupe de $G$. Montrer que $G$ est commutatif si et seulement si $\mathcal{D}(G) = \{e_G\}$.
  2. Montrer que $\ker \varphi$ contient $\mathcal{D}(G)$ si et seulement si $\text{Im} \,\varphi$ est commutatif.
  3. Montrer que $\mathcal{D}(G)$ est un sous-groupe distingué de $G$, i.e. pour tout $g \in G$ et tout $x \in \mathcal{D}(G)$, $gxg^{-1} \in \mathcal{D}(G)$.
  4. DĂ©terminer le groupe dĂ©rivĂ© de $\mathcal{S}_n$ oĂč $n \geqslant 3$. (Indication : montrer que $(1\ 2\ 3)$ appartient Ă  $\mathcal{D}(\mathcal{S}_n)$ et utiliser la question prĂ©cĂ©dente.)
  5. Déterminer le groupe dérivé de $GL_n(\mathbb{C})$. (On pourra admettre que $SL_n(\mathbb{C})$ est engendré par les transvections $T_{i,j}(\lambda)$.)