Égalité de normes

Soient $ E $ un evn et $ N_{1} $ et $ N_{2} $ deux normes sur $ E $. Soient $ a \in E $ et $ r > 0 $ tels que les deux boules fermées de centre $ a $ et de rayon $ r $ pour $ N_{1} $ et pour $ N_{2} $ soient égales.
Prouver que $ N_{1} = N_{2} $.
Indication : Pour $x$ dans $E $, avec, $ x \neq a $. Considérer l'élément : \[ a + r\frac{x-a}{N_{1}(x-a)} \]