Combinaisons convexes
Soient $ E $ un espace vectoriel et $ A $ une partie convexe de $ E $.
- Soit $ (u_{1},u_{2},u_{3}) \in A^{3} $. Soit $ (t_{1},t_{2},t_{3}) \in (\mathbb{R}^{+})^{3} $ tel que $ t_{1}+t_{2}+t_{3} = 1 $. Prouver que $ t_{1}u_{1}+t_{2}u_{2}+t_{3}u_{3} \in A $.
- Soit $ n $ un entier supérieur ou égal à 2. Soit $ (u_{1},\dots,u_{n}) \in A^{n} $. Soit $ (t_{1},\dots,t_{n}) \in (\mathbb{R}^{+})^{n} $ tel que $ t_{1}+\dots+t_{n} = 1 $.
Prouver que :
\[ t_{1}u_{1}+\dots+t_{n}u_{n} \in A \]