Une fonction $f : \mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$ est dite multiplicative si pour tout couple $(m, n)$ d'entiers premiers entre eux, $f(mn) = f(m)f(n)$.
  1. Montrer que $f$ est multiplicative si et seulement si $m \mapsto g(m) = \sum_{d|m} f(d)$ est multiplicative.
  2. En déduire que les fonctions $\varphi$ (indicatrice d'Euler), $S$ (somme des diviseurs) et $\tau$ (nombre de diviseurs) sont multiplicatives.