On rappelle que pour tout $t \in \mathbb{R}$ : $e^t = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{t^n}{n!}$.
Pour tout $x > 0$, on pose : $$S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!(x+n)}$$
  1. Prouver que $S(x)$ existe et que la fonction $S$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$.
  2. Prouver que $\forall x > 0$, $S(x+1) = xS(x) - e^{-1}$.
  3. Prouver que $S(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \dfrac{1}{x}$ et $S(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \dfrac{e^{-1}}{x}$.