1. Justifier que l'on définit une application $f$ continue sur $[0, +\infty[$ en posant : $$\forall x \in \mathbb{R}^+, \quad f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{n^2+1}$$
  2. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
  3. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$.
  4. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $]0, +\infty[$ et calculer $f''(x) + f(x)$ pour tout $x > 0$.