Soit $ \sum_{n \ge 2} a_n $ une série convergente à termes strictement positifs. Pour tout $ n \ge 2 $, on pose : \[ b_n = -a_n \frac{\ln(a_n)}{\ln n} \]

1. Par une étude de $ x \mapsto -x \ln x $, montrer qu'il existe $ k_0 \ge 2 $ tel que : \[ \forall k \ge k_0, \quad a_k \le \frac{1}{k^3} \implies b_k \le \frac{3}{k^3} \]
2. Montrer que la série $ \sum b_n $ converge.
3. Soit $ (u_n)_{n \ge 2} $ une suite à termes dans $ ]0, 1[ $ telle que la série $ \sum \frac{u_n}{\ln(u_n)} $ converge. Montrer que la série $ \sum \frac{u_n}{\ln n} $ converge.