On considĂšre, pour $x \in \mathbb{R}^+$ et $n \in \mathbb{N}^*$ : $$u_n(x) = \frac{(-1)^n}{x+n}$$
  1. Prouver que la série de fonctions $\displaystyle\sum u_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}^+$. On pose : $$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{x+n}, \quad x \in \mathbb{R}^+$$
  2. Prouver que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^+$.
  3. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^+$ et préciser $f'$.