Étude de \(~\int_0^{+\infty} \frac{\sin^3 t}{t^2}\,dt\)

1. Montrer que: \[\displaystyle \int_0^1 \frac{\sin t - t}{t^2}\,dt\] converge.

2. a. Montrer que pour tout \(t\in\mathbb{R}_+\), \[t - \frac{t^3}{6} \le \sin t \le t\] b. En déduire: \[\displaystyle \lim_{x\to0^+} \int_{x}^{3\pi} \frac{\sin t}{t^2}\,dt\]

3. Justifier l’existence de: \[I = \displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin^3 t}{t^2}\,dt\]
4. Calculer \(I\) en linéarisant \(~\sin^3 t\)