Soit $ s \in \mathbb{R} $. Soit $ (u_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite réelle strictement positive. On fait l'hypothèse : \[ \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 - \frac{s}{n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) \]

1. Montrer que la suite de terme général $ \ln(n^s u_n) $ possède une limite finie. En déduire la nature de la série $ \sum u_n $.
2. Exemple : nature de $ \sum_{n \ge 1} p_n $ dans l'exercice SSN 53.