On pose $ N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $. Soit $ M $ une matrice de $ \mathcal{M}_3(\mathbb{C}) $. On fait l'hypothĂšse $ M^2 = N $.
  1. Justifier que $ M $ laisse stables $ \text{Ker}(N) $ et $ \text{Im}(N) $.
  2. Déterminer le noyau et l'image de $ N $. Qu'en déduit-on quant aux coefficients de $ M $ ?
  3. Conclure.