Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel. Soit $ f \in \mathcal{L}(E) $. Montrer les équivalences suivantes : \[ \text{Im}(f) \cap \text{Ker}(f) = \{0\} \iff \text{Ker}(f) = \text{Ker}(f^2) \] \[ \text{Im}(f) + \text{Ker}(f) = E \iff \text{Im}(f) = \text{Im}(f^2) \] On note $ g $ l'endomorphisme de $ \text{Im}(f) $ induit par $ f $. Que signifient ces égalités pour $ g $ ?