Normes sur l'espace des polynĂŽmes
Soit $ E = \mathbb{R}[X] $. Pour tout $ P = \sum_{k=0}^{n} a_{k}X^{k} $, on pose : \[ N_{1}(P) = \sum_{k=0}^{n} |a_{k}| \] et \[ N_{2}(P) = \max_{t \in [0,1]} |P(t)| \]
  1. Justifier que $ N_{1} $ et $ N_{2} $ sont deux normes.
  2. Montrer que si une suite $ (Q_{n}) $ converge vers $ Q $ dans l'espace vectoriel normé $ (E,N_{1}) $, alors elle converge vers $ Q $ dans l'espace vectoriel normé $ (E,N_{2})$.
  3. Soit $ P_{n}(X) = (X-1)^{n} $, pour $ n \in \mathbb{N} $. Calculer $ N_{1}(P_{n}) $ et $ N_{2}(P_{n}) $. Les normes $ N_{1} $ et $ N_{2} $ sont-elles Ă©quivalentes sur $ E $ ?
  4. DĂ©terminer une suite de $ E $ qui converge vers le polynĂŽme nul pour la norme $ N_{2} $ mais pas pour la norme $ N_{1} $.