Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension finie et soit $ f \in \mathcal{L}(E).$
Et soit, $~ P = \sum_{k=0}^n a_k X^k,~$ un élément de $ \mathbb{K}[X]. $
On note $ P(f) $ l'endomorphisme de $ E $ défini par: \[ P(f) = \sum_{k=0}^n a_k f^k \]
  1. DĂ©montrer que : $ \forall \lambda \in \text{Sp}(f), \quad P(\lambda) \in \text{Sp}(P(f)) $
  2. Soit $ R $ un élément non nul de $ \mathbb{K}[X] $ tel que $ R(f) = 0_{\mathcal{L}(E)} $[cite: 71]. Que dire des valeurs propres de $ f $ ?
  3. On dit qu'un endomorphisme $ g $ est nilpotent si : il existe $ k \in \mathbb{N}^* $ vérifiant $ g^k = 0 .$
    Soit $ g \in \mathcal{L}(E) $ ; on suppose $ g $ nilpotent. Montrer que $ g $ est diagonalisable si et seulement si $ g = 0_{\mathcal{L}(E)} $.