Soit $f(x) = \displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{x\,e^{-nx}}{\ln n}$, $x \in \mathbb{R}$.
  1. Déterminer le domaine de définition de $f$.
  2. Prouver que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^+$.
  3. Prouver que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^{+*}$.
  4. Montrer que $f$ n'est pas dérivable en $0$.