Équivalence de convergences en dimension finie
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension finie et \((f_k)_{k\in\mathbb{N}}\) une suite d’applications linĂ©aires de \(E\) dans \(E\).
Montrer l’équivalence entre :
  1. \((f_n)\) converge (pour la norme subordonnée) ;
  2. il existe une base \((e_1,\dots,e_n)\) telle que \((f_k(e_j))_k\) converge pour tout \(j\) ;
  3. \((f_n)\) converge simplement ;
  4. \((f_n)\) converge uniformément sur tout compact.