Soient $a > 0$ et $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{a^k + 1}$, $n \in \mathbb{N}$.
  1. Prouver que la suite $(S_n)$ converge. Considérer les deux suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$.
  2. Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n$. On transformera $S_n$ en remarquant que : $$\frac{1}{a^k + 1} = \int_0^1 x^{a^k}\,dx$$