Convergence de \((M^n)\) et projecteur limite

1. Soit \( M \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R}) \) telle que \((M^k)_k\) converge. Montrer que sa limite est un projecteur qui commute à \( M \).
2. Montrer que \((M^n)_n\) converge si et seulement si \[ \mathrm{Sp}_\mathbb{C}(M) \subset \overline{D}(0,1) \cup \{1\}, \] et que \( \dim E_1(M) = m(1) \), où \( m(1) \) est la multiplicité de \( 1 \) en tant que valeur propre.
   Exprimer l'image et le noyau de la limite \( P \) en fonction des espaces propres de \( M \).